Question

15．如圖所示一根L=0.4m不可伸長的輕繩，一端系一質(zhì)量為0.05kg的小球，另一端固定于O點．拉起小球至繩恰好伸直并處于水平后，在A點以一豎直向下的初速度v₀=2$\sqrt{2}$m/s釋放，當小球運動至O點正下方B點時，繩恰好斷裂，小球繼續(xù)運動并垂直打在同一豎直平面內(nèi)與水平面成θ=30°的足夠大的擋板MN上的C點，g取10m/s²．求：
（1）小球從A點到C點重力做的功及在C點重力的瞬時功率；
（2）若N點開始時處于B點的正下方，現(xiàn)將檔板以N為軸向下轉(zhuǎn)動至水平位置，求小球打在擋板上的點到N點的距離．（答案可用根號表示）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動能定理求出小球經(jīng)過B點時的速度．繩斷裂后，小球做平拋運動，小球繼續(xù)運動并垂直打擋板MN上時速度與擋板垂直，由速度的分解求出小球到C點時的速度，即可由動能定理求出重力做功，得到豎直分速度，即可求C點重力的瞬時功率；
（2）將檔板以N為軸向下轉(zhuǎn)動至水平位置，根據(jù)平拋運動的規(guī)律求水平距離．

解答 解：（1）從A到B，由動能定理得：mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得 v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL}$=$\sqrt{8+2×10×0.4}$=4m/s
設(shè)小球在C點的速度為v_C，豎直方向的分速度為v_y．
據(jù)題知，v_C與擋板MN垂直，即v_C與豎直方向的夾角為30°，則由速度的分解有
  v_C=$\frac{{v}_{B}}{sin30°}$=8m/s
  v_y=v_Ccos30°=4$\sqrt{3}$m/s
由動能定理得：
小球從A點到C點重力做的功 W_G=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×$0.05×（64-8）J=1.4J
在C點時重力的瞬時功率 P=mgv_y=2$\sqrt{3}$W
（2）B、C兩點間的高度差為 h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=2.4m
小球從B到C的時間 t=$\frac{{v}_{y}}{g}$=$\frac{2}{5}\sqrt{3}$s
BC間的水平距離 x=v_Bt=$\frac{8}{5}\sqrt{3}$m
則BN間的高度 H=h+xtan30°=2.4+$\frac{8}{5}\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4m
將檔板以N為軸向下轉(zhuǎn)動至水平位置，小球從B到落到板上的時間 t′=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×4}{10}}$s=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$s
故小球打在擋板上的點到N點的距離 S=v_Bt′=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$m
答：
（1）小球從A點到C點重力做的功是1.4J，在C點時重力的瞬時功率是2$\sqrt{3}$W．
（2）小球打在擋板上的點到N點的距離是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$m．

點評 本題要能熟練運用速度的分解法研究平拋運動，知道動能定理是求功常用的方法，要注意求重力的瞬時功率時，P=mgv_y中v_y是豎直分速度，不是物體的合速度．