Question

7．2013年12月14日，中國“嫦娥三號”探測器在月面虹灣區(qū)域成功軟著陸．在使用7500N發(fā)動機經(jīng)歷720s動力下降后，“嫦娥三號”攜“玉兔”距月球表面高度為h處懸停，如圖所示．然后關(guān)閉反沖發(fā)動機，自由下落到月面實現(xiàn)軟著陸．已知衛(wèi)星在離月球表面高度為R處繞月球做勻速圓周運動的周期為T，月球半徑為R，且h＜＜R，將月球看做質(zhì)量均勻分布的球體，忽略月球的自轉(zhuǎn)．求：
（1）月球表面的重力加速度g的大�。�
（2）“嫦娥三號”著陸前瞬間的速度v的大�。�

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$和萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$聯(lián)立方程計算月球表面的重力加速度g．關(guān)閉反沖發(fā)動機后，“嫦娥三號”自由下落，有v²=2gh，代入g值，可以計算出“嫦娥三號”著陸前瞬間的速度v的大�。�

解答 解：（1）設(shè)月球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，則根據(jù)萬有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（2R）}{{T}^{2}}$
月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：$g=\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
（2）關(guān)閉反沖發(fā)動機后，“嫦娥三號”自由下落，則有：
v²=2gh 
代入g值解得：$v=\frac{8π}{T}\sqrt{hR}$
答：（1）月球表面的重力加速度g的大小為$\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$；
（2）“嫦娥三號”著陸前瞬間的速度v的大小為$\frac{8π}{T}\sqrt{hR}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$和萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，難度適中．