Question

15．如圖，在豎直平面內(nèi)有一固定的光滑軌道ABCD，其中AB是長為2R的水平直軌道，BCD是圓心為O、半徑為R的$\frac{3}{4}$圓弧軌道，兩軌道相切于B點．在水平恒定拉力作用下，一質(zhì)量為m的小球從A點由靜止開始做勻加速直線運動，到達(dá)B點時撤除拉力．已知小球經(jīng)過最高點C時對軌道的壓力大小恰好為零，重力加速度大小為g．求：
（1）小球在AB段運動時所受的拉力F；
（2）小球從D點運動到AB面所用的時間．

Answer 1

分析 （1）小球恰好到達(dá)最高點，知彈力為零，結(jié)合牛頓第二定律求出最高點的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在B點的速度大小，然后結(jié)合動能定理即可求出拉力F．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求出D點速度和到達(dá)地面的速度，結(jié)合速度時間公式求出運動的時間．

解答 解：（1）小球在C點有：
$mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
小球從B點運動到C點，根據(jù)機(jī)械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgR$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
小球在從A到B點的過程中，由動能定理有：$F•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：F=$\frac{5}{4}mg$
（2）設(shè)小球經(jīng)過圓軌道后返后回到AB面時的速度為v，則v=v_B
小球從A點出發(fā)，經(jīng)過B、C、到達(dá)D時的速度為v_D，對此過程應(yīng)用動能定理有：
$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-0=F×2R-mgR$
可得：${v}_{D}=\sqrt{3gR}$
小球從D點下落，回到AB面所用的時間為t，由運動學(xué)公式得，gt=v-v_D，
解得：t=$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．
答：（1）小球在AB段運動時所受的拉力是$\frac{5}{4}mg$；
（2）小球從D點運動到AB面所用的時間是$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．

點評 本題主要考查了機(jī)械能守恒，運動學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，物體恰好通過C點是本題的突破口，這一點要注意把握，難度適中．