Question

11．預警雷達探測到敵機在20000m上空水平勻速飛行，立即啟動質(zhì)量m=100kg的防空導彈，導彈的火箭發(fā)動機在制導系統(tǒng)控制下豎直向下噴氣，使導彈由靜止以a=10g（g=10m/s²）的加速度豎直向上勻加速上升至5000m高空，噴氣方向立即變?yōu)榕c豎直方向成θ角（cosθ=$\frac{1}{11}$）斜向下，導彈做曲線運動，直至擊中敵機．假設導彈飛行過程中火箭推力大小恒定，且不考慮導彈質(zhì)量變化及空氣阻力，導彈可視為質(zhì)點．試求：
（1）火箭噴氣產(chǎn)生的推力；
（2）導彈從發(fā)射到擊中敵機所用的時間；
（3）導彈擊中敵機時的動能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求火箭噴氣產(chǎn)生的推力．
（2）導彈先豎直向上做勻加速運動，由位移公式求出此過程的時間．噴氣方向變?yōu)榕c豎直方向成θ角（cosθ=$\frac{1}{11}$）斜向下后導彈做曲線運動，由于Fcosθ=mg，說明導彈豎直方向做勻速直線運動，再求出勻速運動的時間，從而得到總時間．
（3）在升至5000m高空后，導彈在豎直方向做勻速運動，水平方向做勻加速運動，由牛頓第二定律和速度公式結合求出導彈擊中敵機時水平分速度，再求得導彈擊中敵機時動能．

解答 解：（1）對導彈，由牛頓第二定律得
  F-mg=ma
解得火箭噴氣產(chǎn)生的推力 F=m（g+a）=100×（10+100）N=11mg=1.1×10⁴N
（2）導彈豎直向上做勻加速直線運動的過程，有
  $\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=h₁，得 t₁=$\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×5000}{10×10}}$s=10s
推力改變方向后，由于 Fcosθ=11mg×$\frac{1}{11}$=mg
所以導彈在豎直方向上作勻速運動，運動時間為 t₂=$\frac{H-{h}_{1}}{{v}_{y}}$
又 v_y=at₁=100×10=1000m/s，H=20000m
聯(lián)立解得 t₂=15s
故t_總=t₁+t₂=25s
（3）在5000m高處之后，導彈在豎直方向作勻速運動，水平方向作勻加速運動，則水平方向有
  Fsinθ=ma_x，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{30}}{11}$
解得 a_x=$\frac{11mg×\frac{2\sqrt{30}}{11}}{m}$=20$\sqrt{30}$m/s²；
導彈擊中飛機時水平分速度為 v_x=a_xt₂=300$\sqrt{30}$m/s
則導彈擊中飛機時的動能為 E_k=$\frac{1}{2}m（{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}）$=1.85×10⁸J
答：
（1）火箭噴氣產(chǎn)生的推力是1.1×10⁴N；
（2）導彈從發(fā)射到擊中敵機所用的時間是25s；
（3）導彈擊中敵機時的動能是1.85×10⁸J．

點評 本題是實際問題，關鍵要建立物理模型，簡化過程，運用運動的分解法研究曲線運動．