Question

8．宇航員駕駛宇宙飛船成功登上月球，他在月球表面做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：在停在月球表面的登陸艙內(nèi)固定一傾角為θ=30°的斜面，讓一個(gè)小物體以速度v₀沿斜面上沖，利用速度傳感器得到其往返運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖所示，圖中t₀已知．已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）月球的密度ρ；
（2）宇宙飛船在近月圓軌道繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度v₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合速度時(shí)間圖線求出月球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力等于重力，求出月球的質(zhì)量，從而得出月球的密度．
（2）根據(jù)重力提供向心力求出宇宙飛船繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度．

解答 解：（1）根據(jù)速度時(shí)間圖線知，上滑的加速度大小${a}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}$，
根據(jù)上滑的位移和下滑的位移大小相等，有：$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{0}=\frac{1}{2}v•2{t}_{0}$得，v=$\frac{{v}_{0}}{2}$，則下滑的加速度大小${a}_{2}=\frac{v}{2{t}_{0}}=\frac{{v}_{0}}{4{t}_{0}}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，a₁=gsinθ+μgcosθ，a₂=gsinθ-μgcosθ，
聯(lián)立解得月球表面重力加速度g=$\frac{5{v}_{0}}{8{t}_{0}sinθ}$．
根據(jù)mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$得，月球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
則月球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$=$\frac{15{v}_{0}}{32GπR{t}_{0}sinθ}$=$\frac{15{v}_{0}}{16GπR{t}_{0}}$．
（2）根據(jù)mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$得，${v}_{1}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{5{v}_{0}R}{8{t}_{0}sinθ}}$=$\sqrt{\frac{5{v}_{0}R}{4{t}_{0}}}$．
答：（1）月球的密度為$\frac{15{v}_{0}}{16GπR{t}_{0}}$．
（2）宇宙飛船在近月圓軌道繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為$\sqrt{\frac{5{v}_{0}R}{4{t}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律與牛頓第二定律、速度時(shí)間圖線的綜合運(yùn)用，通過圖線和牛頓第二定律求出月球表面重力加速度是解決本題的關(guān)鍵．