Question

16．如圖所示，是交流發(fā)電機模型示意圖．在磁感應強度為B的勻強磁場中，有一單匝矩形線圈abcd可繞線圈平面內垂直于磁感線的OO′軸轉動，由線圈引出的導線ae和df分別與兩個跟線圈一起繞OO′轉動的金屬圈環(huán)相連接，金屬圓環(huán)又分別與兩個固定的電刷保持滑動接觸，這樣矩形線圈在轉動中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路．已知ab長度為L₁，bc長度為L₂，線圈以恒定角速度ω逆時針轉動．
（1）線圈平面處于中性面位置時開始計時，試推導t時刻整個線圈中的感應電動勢e的表達式；
（2）若線圈電阻為r，求線圈每轉動一周電阻R上產生的焦耳熱．（其它電阻均不計）

Answer 1

分析 （1）矩形線圈abcd轉動過程中，只有ab和cd切割磁感線，先求出轉動線速度，根據E=BLv，求出導線ab和cd因切割磁感線而產生的感應電動勢，從而寫出瞬時表達式；
（2）先求出平均電動勢，根據歐姆定律求出平均電流，根據Q=I²RT即可求解．

解答 解：（1）矩形線圈abcd轉動過程中，只有ab和cd切割磁感線，設ab和cd的轉動速度為v，則有：$v=ω\frac{{L}_{2}}{2}$                               
在t時刻，導線ab和cd因切割磁感線而產生的感應電動勢均為：E=BL₁v                                             
由圖可知：v′=vsinωt                                   
則整個線圈的感應電動勢為：e=2E=BL₁L₂ωsinωt        
（2）由閉合電路歐姆定律可知：$I=\frac{E}{R+r}$                   
電動勢的有效值為：$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{B{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$                        
則線圈轉動一周在R上產生的焦耳熱為：Q=I²Rt          
其中  $T\\;=\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{ω}$
 聯立解得：Q=$πRω（\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}）^{2}$
答：（1）線圈平面處于中性面位置時開始計時，t時刻整個線圈中的感應電動勢e的表達式為e=2E=BL₁L₂ωsinωt；
（2）若線圈電阻為r，求線圈每轉動一周電阻R上產生的焦耳熱為$πRω（\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}）^{2}$

點評 當線圈與磁場相平行時，即線圈邊框正好垂直切割磁感線，此時產生的感應電動勢最大．求電荷量時，運用交流電的平均值，求產生的熱能時，用交流電的有效值．