Question

7．如圖所示，在xOy平面內有磁感應強度大小為B的勻強磁場，其中在y軸的右側與x=a的左側區(qū)域內磁場方向垂直x0y平面向里，在x=a的右側區(qū)域內磁場方向垂直x0y平面向外．在坐標原點有一個電荷量為q、質量為m的帶正電粒子（粒子重力不計）沿x軸正方向射人磁場．
（1）若粒子的初速度為v₀，粒子能回到原點O，求a的值；
（2）若粒子初速度未知．但粒子做圓周運動的軌道半徑為R=$\sqrt{2}a$，求粒子與x軸的交點坐標及粒子到達x=a右側最高點所用時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律求出軌道半徑，根據(jù)題意畫出運動軌跡，由幾何知識求出a．
（2）根據(jù)幾何知識求出粒子與x軸的交點坐標，得到軌跡對應的圓心角，再求時間．

解答 解：（1）設粒子在軌道半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
可得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
根據(jù)題意畫出粒子的運動軌跡，如圖所示．根據(jù)幾何知識可得：
a=r-$\sqrt{{r}^{2}-（r-\frac{r}{2}）^{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$r=$\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2qB}$
（2）粒子做圓周運動的軌道半徑為R=$\sqrt{2}a$時，由幾何知識可得：θ=45°
粒子與x軸的交點坐標為：
x=a+R（1+cos45°）=（$\sqrt{2}$+2）a
粒子在兩個磁場中運動的周期均為：T=$\frac{2πm}{qB}$
則粒子到達x=a右側最高點所用時間為：t=$\frac{T}{4}$+$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{qB}$
答：（1）a的值是$\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2qB}$．
（2）粒子與x軸的交點坐標是（$\sqrt{2}$+2）a，粒子到達x=a右側最高點所用時間為$\frac{πm}{qB}$．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，關鍵作出粒子運動軌跡，再應用幾何知識、周期公式即可正確解題．