Question

7．如圖所示，在xOy平面內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中在y軸的右側(cè)與x=a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直x0y平面向里，在x=a的右側(cè)區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直x0y平面向外．在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子（粒子重力不計(jì)）沿x軸正方向射人磁場(chǎng)．
（1）若粒子的初速度為v₀，粒子能回到原點(diǎn)O，求a的值；
（2）若粒子初速度未知．但粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R=$\sqrt{2}a$，求粒子與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及粒子到達(dá)x=a右側(cè)最高點(diǎn)所用時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌道半徑，根據(jù)題意畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出a．
（2）根據(jù)幾何知識(shí)求出粒子與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，再求時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子在軌道半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
可得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
根據(jù)題意畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示．根據(jù)幾何知識(shí)可得：
a=r-$\sqrt{{r}^{2}-（r-\frac{r}{2}）^{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$r=$\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2qB}$
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R=$\sqrt{2}a$時(shí)，由幾何知識(shí)可得：θ=45°
粒子與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：
x=a+R（1+cos45°）=（$\sqrt{2}$+2）a
粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期均為：T=$\frac{2πm}{qB}$
則粒子到達(dá)x=a右側(cè)最高點(diǎn)所用時(shí)間為：t=$\frac{T}{4}$+$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{qB}$
答：（1）a的值是$\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2qB}$．
（2）粒子與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（$\sqrt{2}$+2）a，粒子到達(dá)x=a右側(cè)最高點(diǎn)所用時(shí)間為$\frac{πm}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，再應(yīng)用幾何知識(shí)、周期公式即可正確解題．