Question

12．如圖所示，電荷量q=+10^-10C，質(zhì)量m=10^-20kg的粒子，經(jīng)電勢差為U=200V的恒定電壓由靜止加速后，沿電場中心線RD垂直電場線飛入電場，水平放置的兩平行金屬板AB間的距離d=8cm，板長l=8cm，粒子飛出平行板電場，進入界面MN、PS的無電場區(qū)域．兩界面MN、PS相距L=12cm，D是中心線RD與界面PS的交點，帶電粒子重力不計．
（1）求粒子沿電場中心線RD垂直電場線飛入電場的速度v₀；
（2）在AB板間加U₀=300V的恒定電壓，求粒子穿過界面MN打到界面PS上的點到D點的距離y₁；
（3）若在AB板間加如圖b所示的方波電壓，U₀=300V，求t=0時刻進入的粒子穿過界面MN打到界面PS上的點到D點的距離y₂．

Answer 1

分析 （1）由動能定理可得進入AB的初速度．
（2）帶電粒子垂直進入勻強電場后，只受電場力，做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻加速直線運動．由牛頓定律求出加速度，由運動學(xué)公式求出粒子飛出電場時的側(cè)移h．
由幾何知識求解粒子穿過界面PS時偏離中心線RO的距離．
（3）先求出粒子穿過電場的時間，判斷出粒子在各段時間內(nèi)所做的運動的特點，然后結(jié)合類平拋運動的特點分別求出各個位移即可．

解答 解：（1）由動能定理可得：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×1{0}^{-10}×200}{1{0}^{-20}}}m/s=2×1{0}^{6}m/s$
（2）粒子穿過界面MN時偏離中心線RO的距離（側(cè)向位移）為：${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中：$a=\frac{qU′}{md}$
在偏轉(zhuǎn)電場中，水平方向：L=v₀t
由以上三式可得：${y}_{1}=\frac{1}{2}\frac{qU′}{md}{（\frac{L}{{v}_{0}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{1{0}^{-10}×300}{1{0}^{-20}×0.08}×（{\frac{0.08}{2×1{0}^{6}}）}^{2}=0.03m=3cm$
帶電粒子在離開電場后將做勻速直線運動，其軌跡與PS線交于a，設(shè)a到中心線的距離為Y，又由相似三角形得：$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{\frac{1}{2}L}{\frac{1}{2}L+b}$
解得：y₂=4y₁=0.12m
（3）粒子穿過電場的時間：${t_0}=\frac{l}{v_0}=\frac{{8×{{10}^{-2}}}}{{2×{{10}^6}}}=4×{10^{-8}}（s）=T$；T為脈沖電壓的周期
t=0時刻進入電場的粒子，側(cè)向先勻加速后勻減速，側(cè)向加速度大小為：$a=\frac{{{U_0}q}}{md}=\frac{{300×{{10}^{-10}}}}{{{{10}^{-20}}×8×{{10}^{-2}}}}=\frac{3}{8}×{10^4}（m/{s^2}）$
出電場時側(cè)向速度大小為：${v_y}=a•\frac{T}{2}=\frac{3}{8}×{10^{14}}×2×{10^{-8}}=7.5×{10^5}（m/s）$
t=0時刻進入電場的粒子，出電場時的側(cè)向位移為：${y_1}=\frac{1}{2}a•{（\frac{3}{4}T）^2}+a•\frac{3}{4}T•\frac{T}{4}-\frac{1}{2}a•{（\frac{T}{4}）^2}=\frac{7}{16}a{T^2}=\frac{21}{8}×{10^{-2}}（m）$
設(shè)粒子出電場時的速度方向與水平方向夾角為θ，則有：$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{0.75}{2}=\frac{3}{8}$
在MN與PS之間的側(cè)向位移為：${y_1}'=Ltanθ=12×{10^{-2}}×\frac{3}{8}=\frac{9}{2}×{10^{-2}}（m）$
所以有：$y={y_1}+{y_1}'=\frac{57}{8}×{10^{-2}}=7.13×{10^{-2}}（m）$
答：（1）粒子沿電場中心線RD垂直電場線飛入電場的速度是2×10⁶m/s；
（2）在AB板間加U₀=300V的恒定電壓，粒子穿過界面MN打到界面PS上的點到D點的距離是0.12m；
（3）t=0時刻進入的粒子穿過界面MN打到界面PS上的點到D點的距離是7.13×10^-2m

點評 有關(guān)帶電粒子在勻強電場中的運動，可以從兩條線索展開：其一，力和運動的關(guān)系．根據(jù)帶電粒子受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運動學(xué)公式確定帶電粒子的速度和位移等；其二，功和能的關(guān)系．根據(jù)電場力對帶電粒子做功，引起帶電粒子的能量發(fā)生變化，利用動能定理進行解答．