Question

3．請導出天體運動過程中的線速度v，角速度ω，周期T和軌道半徑r的關系式．

Answer 1

分析 天體繞中心天體做圓周運動，靠萬有引力提供向心力，結合向心力與線速度、角速度、周期、向心加速度的關系求出線速度、角速度、周期、向心加速度的表達式．

解答 解：把天體的運動看作是勻速圓周運動，所需的向心力由萬有引力提供．
根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；
根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr{ω}^{2}$得，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$；
根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$；
由a=$\frac{F}{m}$及F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$解得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$．
答：天體運動過程中的線速度v，角速度ω，周期T和軌道半徑r的關系式分別為：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$；T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，知道線速度、角速度、周期、向心加速度與軌道半徑的關系．