Question

20．如圖所示，游樂(lè)場(chǎng)翻滾過(guò)山車上的乘客常常會(huì)在高速旋轉(zhuǎn)或高空倒懸時(shí)嚇得魂飛魄散，但這種車的設(shè)計(jì)有足夠的安全系數(shù)，離心現(xiàn)象使乘客在回旋時(shí)穩(wěn)坐在座椅上，還有安全棒緊緊壓在乘客胸前，在過(guò)山車未達(dá)終點(diǎn)以前，誰(shuí)也無(wú)法將它們打開(kāi)．設(shè)想如下數(shù)據(jù)，軌道最高處離地面32m，最低處幾乎貼地，圓環(huán)直徑為15m，過(guò)山車經(jīng)過(guò)圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)的速度約25m/s，經(jīng)過(guò)圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)的速度約18m/s．試?yán)�用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，探究這樣的情況下能否保證乘客的安全．

Answer 1

分析 車在最高點(diǎn)時(shí)，若恰好由重力提供向心力時(shí)，人與保險(xiǎn)帶間恰好沒(méi)有作用力，沒(méi)有保險(xiǎn)帶，人也不會(huì)掉下來(lái)．當(dāng)速度更大時(shí)，人更不會(huì)掉下來(lái)．當(dāng)速度大于臨界速度 $\sqrt{gr}$時(shí)，人在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)座位就產(chǎn)生壓力．人在最低點(diǎn)時(shí)，加速度方向豎直向上，根據(jù)牛頓第二定律分析壓力與重力的關(guān)系即可．

解答 解：首先我們分析一下當(dāng)過(guò)山車運(yùn)動(dòng)到環(huán)底和環(huán)頂時(shí)車中的人的受力情況：重力mg、F_N下和F_N上．F_N下、F_N上分別為過(guò)山車在底部和頂部時(shí)對(duì)人的支持力（為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，可不考慮摩擦及空氣阻力）．我們知道，過(guò)山車沿圓環(huán)滑動(dòng)，人也在做圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)人做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由mg和F_N提供．用v_下表示人在圓環(huán)底部的速度，v_上表示人在圓環(huán)頂部的速度，R表示環(huán)的半徑，則由牛頓第二定律得：
在底部：F_N下-mg=m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$
在頂部：F_N上+mg=m$\frac{{v}_{上}^{2}}{R}$
由F_N下=mg+m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$可知，在環(huán)的底部時(shí)，過(guò)山車對(duì)人的支持力比人的重力大了m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$，這時(shí)人對(duì)過(guò)山車座位的壓力自然也比自身重力大m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$，好像人的重力增加了m$\frac{{v}_{下}^{2}}{R}$，使人緊壓在椅子上不能動(dòng)彈．
由F_N上=m$\frac{{v}_{上}^{2}}{R}$-mg可知，在環(huán)的頂部，當(dāng)重力mg等于向心力m$\frac{{v}_{上}^{2}}{R}$時(shí)，就可以使人沿圓環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)，不掉下來(lái)．由mg=m$\frac{{v}_{上}^{2}}{R}$可得，v_上=8.7m/s，也就是說(shuō)，過(guò)山車要安全通過(guò)頂點(diǎn)，有8.7m/s的速度就足夠了．而過(guò)山車通過(guò)頂點(diǎn)時(shí)的速度約18m/s，比8.7m/s大得多，所以過(guò)山車和人一定能安全地通過(guò)頂點(diǎn)，不必?fù)?dān)心．
答：這樣的情況下能保證乘客的安全．

點(diǎn)評(píng) 本題是實(shí)際問(wèn)題，考查運(yùn)用物理知識(shí)分析實(shí)際問(wèn)題的能力，關(guān)鍵根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析處理圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題．