一半徑為的水平光滑圓桌面，圓心為，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線，如圖預(yù)17-2所示。一根不可伸長(zhǎng)的柔軟的細(xì)輕繩，一端固定在封閉曲線上的某一點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一個(gè)方向與繩垂直、大小為的初速度。物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)繩的張力為時(shí)，繩即斷開(kāi)，在繩斷開(kāi)前物塊始終在桌面上運(yùn)動(dòng)．

    1．問(wèn)繩剛要斷開(kāi)時(shí)，繩的伸直部分的長(zhǎng)度為多少?

2．若繩剛要斷開(kāi)時(shí)，桌面圓心到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點(diǎn)的連線正好與繩的伸直部分垂直，問(wèn)物塊的落地點(diǎn)到桌面圓心的水平距離為多少？已知桌面高度．物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)未與立柱相碰．取重力加速度大小為．

1．（5分）1978年在湖北省隨縣發(fā)掘了一座戰(zhàn)國(guó)早期（距今大約2400多年前）曾國(guó)國(guó)君的墓葬——曾侯乙墓，出土的眾多墓葬品中被稱(chēng)為中國(guó)古代文明輝煌的象征的是一組青銅鑄造的編鐘樂(lè)器（共64件），敲擊每個(gè)編鐘時(shí)，能發(fā)出音域?qū)拸V、頻率準(zhǔn)確的不同音調(diào)。與鑄造的普通圓鐘不同，圓鐘的橫截面呈圓形，每個(gè)編鐘的橫截面均呈杏仁狀。圖預(yù)17-1-1為圓鐘截面的，圖預(yù)17-1-2為編鐘的截面，分別敲擊兩個(gè)鐘的、、和、、三個(gè)部位，則圓鐘可發(fā)出________個(gè)基頻的音調(diào)，編鐘可發(fā)出________個(gè)基頻的音調(diào)。

2.（5分）我國(guó)在1999年11月20日用新型運(yùn)載火箭成功地發(fā)射了一艘實(shí)驗(yàn)航天飛行器，它被命名為_(kāi)__________號(hào)，它的目的是為_(kāi)___________________作準(zhǔn)備。

如圖復(fù)16-6所示，軸豎直向上，平面是一絕緣的、固定的、剛性平面。在處放一帶電量為的小物塊，該物塊與一細(xì)線相連，細(xì)線的另一端穿過(guò)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的光滑小孔，可通過(guò)它牽引小物塊�，F(xiàn)對(duì)該系統(tǒng)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)方向垂直與軸，與軸夾角為（如圖復(fù)16-6所示）。設(shè)小物塊和絕緣平面間的摩擦系數(shù)為,且靜摩擦系數(shù)和滑動(dòng)摩擦系數(shù)相同。不計(jì)重力作用�，F(xiàn)通過(guò)細(xì)線來(lái)牽引小物塊，使之移動(dòng)。在牽引過(guò)程中，我們約定：細(xì)線的端只準(zhǔn)沿軸向下緩慢移動(dòng)，不得沿軸向上移動(dòng)；小物塊的移動(dòng)非常緩慢，在任何時(shí)刻，都可近似認(rèn)為小物塊處在力平衡狀態(tài)。若已知小物塊的移動(dòng)軌跡是一條二次曲線，試求出此軌跡方程。

六個(gè)相同的電阻（阻值均為）連成一個(gè)電阻環(huán)，六個(gè)接點(diǎn)依次為1、2、3、4、5和6，如圖復(fù)16-5-1所示�，F(xiàn)有五個(gè)完全相同的這樣的電阻環(huán)，分別稱(chēng)為 、、┅。

現(xiàn)將的1、3、5三點(diǎn)分別與的2、4、6三點(diǎn)用導(dǎo)線連接，如圖復(fù)16-5-2所示。然后將的1、3、5三點(diǎn)分別與的2、4、6三點(diǎn)用導(dǎo)線連接，┅ 依此類(lèi)推。最后將的1、3、5三點(diǎn)分別連接到的2、4、6三點(diǎn)上。

1．證明全部接好后，在上的1、3兩點(diǎn)間的等效電阻為。

2．求全部接好后，在上的1、3兩點(diǎn)間的等效電阻。

經(jīng)過(guò)用天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形勢(shì)和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)。雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離。一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理。

現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是，兩者相距。他們正繞兩者連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。
    1. 試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期。
    2. 若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為，且。為了解釋與的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì)。作為一種簡(jiǎn)化模型，我們假定在這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響。試根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。

用直徑為的超導(dǎo)材料制成的導(dǎo)線做成一個(gè)半徑為的圓環(huán)。圓環(huán)處于超導(dǎo)狀態(tài)，環(huán)內(nèi)電流為。經(jīng)過(guò)一年，經(jīng)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)內(nèi)電流的變化量小于。試估算該超導(dǎo)材料電阻率數(shù)量級(jí)的上限。

提示：半徑為的圓環(huán)中通以電流后,圓環(huán)中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ,式中、、各量均用國(guó)際單位，。

兩個(gè)焦距分別是和的薄透鏡和，相距為，被共軸地安置在光具座上。 1. 若要求入射光線和與之對(duì)應(yīng)的出射光線相互平行，問(wèn)該入射光線應(yīng)滿足什么條件？  2. 根據(jù)所得結(jié)果，分別畫(huà)出各種可能條件下的光路示意圖。

一汽缸的初始體積為，其中盛有的空氣和少量的水（水的體積可以忽略）。平衡時(shí)氣體的總壓強(qiáng)是，經(jīng)做等溫膨脹后使其體積加倍，在膨脹結(jié)束時(shí)，其中的水剛好全部消失，此時(shí)的總壓強(qiáng)為。若讓其繼續(xù)作等溫膨脹，使體積再次加倍。試計(jì)算此時(shí)：

1.汽缸中氣體的溫度；

2.汽缸中水蒸氣的摩爾數(shù)；

3.汽缸中氣體的總壓強(qiáng)。

假定空氣和水蒸氣均可以當(dāng)作理想氣體處理。

一個(gè)大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和（）�，F(xiàn)讓一長(zhǎng)為、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面的液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為，由靜止開(kāi)始下落。試計(jì)算木棍到達(dá)最低處所需的時(shí)間。假定由于木棍運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計(jì)，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，未露出液面，也未與容器相碰。

1997年8月26日在日本舉行的國(guó)際天文學(xué)會(huì)上，德國(guó)Max Planck學(xué)會(huì)的一個(gè)研究組宣了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在一個(gè)在黑洞。他們的根據(jù)是用口徑為3.5m的天文望遠(yuǎn)鏡對(duì)獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進(jìn)行近六年的觀測(cè)所得到的數(shù)據(jù)，他們發(fā)現(xiàn)，距離銀河系中心約60億公里的星體正以的速度圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)（見(jiàn)提示2），通過(guò)計(jì)算確認(rèn)，如果銀河系中心確實(shí)存在黑洞的話，其最大半徑是多少。（引力常數(shù)）

提示：1. 黑洞是一種密度極大的天體，其表面的引力是如此之強(qiáng)，以至于包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都不了其引力作用。

2．計(jì)算中可以采用拉普拉斯經(jīng)典黑洞模型，在這種模型中，在黑洞表面上的所有物質(zhì)，即使初速度等于光速也逃脫不了其引力的作用。