Question

【題目】拋物線y=（x﹣3）（x+1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）連結(jié)BD，CD，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E．
①若線段BD上一點(diǎn)P，使∠DCP=∠BDE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②若拋物線上一點(diǎn)M，作MN⊥CD，交直線CD于點(diǎn)N，使∠CMN=∠BDE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=（x﹣3）（x+1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），

∴當(dāng)y=0時(shí)，（x﹣3）（x+1）=0，

解得x=3或﹣1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）

（2）

解：①如圖．

∵拋物線y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3與與y軸交于點(diǎn)C，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）．

∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．

連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H，則H點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3），

∴CH=DH=1，

∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，

∴CD= ，CB=3 ，△BCD為直角三角形．

分別延長(zhǎng)PC、DC，與x軸相交于點(diǎn)Q，R．

∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，

∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，

∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，

∴∠CDB=∠QCO，

∴△BCD∽△QOC，

∴ = = ，

∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．

∴直線CQ的解析式為y=﹣ x﹣3，

直線BD的解析式為y=2x﹣6．

由方程組 ，解得 ．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）；

②（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)．

若點(diǎn)N在射線CD上，如備用圖1，延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，

∴ = = ，

∴MN=2CN．

設(shè)CN=a，則MN=2a．

∵∠CDE=∠DCF=45°，

∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，

∴NF=CN=a，CF= a，

∴MF=MN+NF=3a，

∴MG=FG= a，

∴CG=FG﹣FC= a，

∴M（ a，﹣3+ a）．

代入拋物線y=（x﹣3）（x+1），解得a= ，

∴M（ ，﹣ ）；

若點(diǎn)N在射線DC上，如備用圖2，MN交y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，

∴ = = ，

∴MN=2CN．

設(shè)CN=a，則MN=2a．

∵∠CDE=45°，

∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，

∴NF=CN=a，CF= a，

∴MF=MN﹣NF=a，

∴MG=FG= a，

∴CG=FG+FC= a，

∴M（ a，﹣3+ a）．

代入拋物線y=（x﹣3）（x+1），解得a=5 ，

∴M（5，12）；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)．

∵∠CMN=∠BDE＜45°，

∴∠MCN＞45°，

而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠MCN＜45°，

∴點(diǎn)M不存在．

綜上可知，點(diǎn)M坐標(biāo)為（ ，﹣ ）或（5， 12）．

【解析】（1）解方程（x﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根據(jù)拋物線y=（x﹣3）（x+1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），確定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；將y=（x﹣3）（x+1）配方，寫(xiě)成頂點(diǎn)式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)拋物線y=（x﹣3）（x+1），得到點(diǎn)C、點(diǎn)E的坐標(biāo)．連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD= ，CB=3 ，證明△BCD為直角三角形．分別延長(zhǎng)PC、DC，與x軸相交于點(diǎn)Q，R．根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC，則 = = ，得出Q的坐標(biāo)（﹣9，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CQ的解析式為y=﹣ x﹣3，直線BD的解析式為y=2x﹣6，解方程組 ，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)．若點(diǎn)N在射線CD上，如備用圖1，延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，先證明△MCN∽△DBE，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出MN=2CN．設(shè)CN=a，再證明△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，然后用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，將其代入拋物線y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；若點(diǎn)N在射線DC上，同理可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠MCN＜45°，所以點(diǎn)M不存在．