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函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通過方程進(jìn)行研究。

就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)。

1．函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題。

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2．方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.

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3．(1) 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＝0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函數(shù)問題(例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)。

(2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。

(3) 數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要。

(4) 函數(shù)f(x)＝(n∈N^*)與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題。

(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。

(6) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。

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Ⅰ．運(yùn)用函數(shù)與方程、表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)解決函數(shù)、方程、表達(dá)式問題。

例1　已知，(a、b、c∈R)，則有(　 )

(A)　　(B) 　　(C) 　(D)

解析法一：依題設(shè)有 a.5－b.+c＝0

∴是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根；

∴△＝≥0　 ∴　故選(B)

法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：

≥10ac+2.5a.c＝20ac

∴　故選(B)

點(diǎn)評(píng)解法一通過簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b²是a、c的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式，思路清晰，水到渠成。

練習(xí)1 已知關(guān)于的方程－(2 m－8)x +－16 = 0的兩個(gè)實(shí)根、　滿足＜＜，則實(shí)數(shù)m的取值范圍_______________。

答案：；

2 已知函數(shù) 的圖象如下，則(　　 )

(A)　　 (B)

(C) 　　　　(D)

答案：A.

　 3 求使不等式≤.對(duì)大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。

Ⅱ：構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題：

例2　已知，t∈[，8]，對(duì)于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。

解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]

原題轉(zhuǎn)化為：>0恒成立，為m的一次函數(shù)(這里思維的轉(zhuǎn)化很重要)

當(dāng)x＝2時(shí)，不等式不成立。

∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]

問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[，3]上恒對(duì)于0，則：；

解得：x>2或x<－1

評(píng)析　首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個(gè)變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個(gè)字母變量的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。

例3　為了更好的了解鯨的生活習(xí)性，某動(dòng)物保護(hù)組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測(cè)裝置，從海洋放歸點(diǎn)A處，如圖(1)所示，把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對(duì)它進(jìn)行了長(zhǎng)達(dá)40分鐘的跟蹤觀測(cè)，每隔10分鐘踩點(diǎn)測(cè)得數(shù)據(jù)如下表(設(shè)鯨沿海面游動(dòng))，然后又在觀測(cè)站B處對(duì)鯨進(jìn)行生活習(xí)性的詳細(xì)觀測(cè)，已知AB＝15km，觀測(cè)站B的觀測(cè)半徑為5km。

觀測(cè)時(shí)刻 t(分鐘)	跟蹤觀測(cè)點(diǎn)到放歸點(diǎn)的距離a(km)	鯨位于跟蹤觀測(cè)點(diǎn)正北方向的距離b(km)
10	1	0.999
20	2	1.413
30	3	1.732
40	4	2.001

(1)據(jù)表中信息：①計(jì)算出鯨沿海岸線方向運(yùn)動(dòng)的速度；②試寫出a、b近似地滿足的關(guān)系式并

畫出鯨的運(yùn)動(dòng)路線草圖；

(2)若鯨繼續(xù)以(1)－②運(yùn)動(dòng)的路線運(yùn)動(dòng)，試預(yù)測(cè)，該鯨經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間(從放歸時(shí)開設(shè)計(jì)時(shí))可進(jìn)入前方觀測(cè)站B的觀測(cè)范圍？并求出可持續(xù)觀測(cè)的時(shí)間及最佳觀測(cè)時(shí)刻。(注：≈6.40；精確到1分鐘)