例2、 已知數(shù)列滿足:。
解:由于是知
。
評析:本題主要通過對數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì),從而達(dá)到化歸轉(zhuǎn)化解決問題的目的。其中性質(zhì)探求是關(guān)鍵。
例3、設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 .
解析:由橢圓第二定義知,這些線段長度的最小值為右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離即|FP1|=,最大值為右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離即|FP21|=,故若公差d>0,則同理若公差d<0,則可求得。
評析:本題很好地將數(shù)列與橢圓的有關(guān)性質(zhì)結(jié)合在一起,形式新穎,內(nèi)容深遂,有一定的難度,可見命題設(shè)計(jì)者的良苦用心。解決的關(guān)鍵是確定該數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng),然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公求出公差的取值范圍。
例4、 若數(shù)列是等差數(shù)列,則有數(shù)列類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:若數(shù)列是等比數(shù)列,且,則有數(shù)列
解析:由已知“等差數(shù)列前n項(xiàng)的算術(shù)平均值是等差數(shù)列”可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項(xiàng)的幾何平均值也應(yīng)該是等比數(shù)列”不難得到
評析:本題只須由已知條件的特征從形式和結(jié)構(gòu)上對比猜想不難挖掘問題的突破口。
例5、將自然數(shù)不清,2,3,4……排成數(shù)陳(如右圖),在2處轉(zhuǎn)第一個(gè)彎,在3轉(zhuǎn)第二個(gè)彎,在5轉(zhuǎn)第三個(gè)彎,….,則第2005個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為____________。
解:觀察由1起每一個(gè)轉(zhuǎn)彎時(shí)遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)為“1,1,2,2,3,3,4,4,……”。故在第2005個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為:
1+2(1+2+3+……+1002)+1003=1006010。
評析:本題求解的關(guān)鍵是對圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。具體解題時(shí)需要較強(qiáng)的觀察能力及快速探求規(guī)律的能力。因此,它在高考中具有較強(qiáng)的選拔功能。
例6、下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”:
4 |
7 |
(
) |
(
) |
(
) |
…… |
|
…… |
7 |
12 |
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(
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(
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…… |
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…… |
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(
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(
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…… |
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…… |
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…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
…… |
其中每行、每列都是等差數(shù)列,表示位于第i行第j列的數(shù)。
(I)寫出的值;(II)寫出的計(jì)算公式;
(III)證明:正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。
解:(I)(詳見第二問一般性結(jié)論)。
(II)該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4,公差為3的等差數(shù)列: ; 第二行是首項(xiàng)為7,公差為5的等差數(shù)列: , ……,第i行是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,因此
(III)必要性:若N在該等差數(shù)陣中,則存在正整數(shù)i,j使得,從而 。 即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。
充分性:若2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積,由于2N+1是奇數(shù),則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積,即存在正整數(shù)k,l,使得, 從而可見N在該等差數(shù)陣中。
綜上所述,正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。
評析: 本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識,考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。求解關(guān)鍵是如何根據(jù)圖表信息求出行列式中對應(yīng)項(xiàng)的通項(xiàng)公式。
例7、如圖,第n個(gè)圖形由第n+2邊形“擴(kuò)展”而來的。記第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)為,則= ?!?
解:由圖易知:從而易知
評析:求解幾何計(jì)數(shù)問題通常采用“歸納-猜想-證明”解題思路。本題也可直接求解。第n個(gè)圖形由第n+2邊形“擴(kuò)展”而來的,這個(gè)圖形共由n+3個(gè)n+2邊形組成,而每個(gè)n+2邊形共有n+2個(gè)頂點(diǎn),故第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)為。
例8、如圖是一個(gè)類似“楊輝三角”的圖形,第n行共有n個(gè)數(shù),且該行的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是n,中間任意一個(gè)數(shù)都等于第n-1行與之相鄰的兩個(gè)數(shù)的和, 分別表示第n行的第一個(gè)數(shù),第二個(gè)數(shù),…….第n 個(gè)數(shù)。
求的通項(xiàng)式。
解:(1)由圖易知從而知是一階等差數(shù)列,即
以上n-1個(gè)式相加即可得到:
評析:“楊輝三角”型數(shù)列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點(diǎn)問題。求解這類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各行項(xiàng)與行列式的對應(yīng)關(guān)系,通常需轉(zhuǎn)化成一階(或二階)等差數(shù)列結(jié)合求和方法來求解。有興趣的同學(xué)不妨求出的通項(xiàng)式。