例2、　　　　　 已知數(shù)列滿足：。 解：由于是知 。 評析：本題主要通過對數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì)，從而達到化歸轉(zhuǎn)化解決問題的目的。其中性質(zhì)探求是關鍵。

例4、　　　　　 若數(shù)列是等差數(shù)列，則有數(shù)列類比上述性質(zhì)，相應地：若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有數(shù)列 解析：由已知“等差數(shù)列前n項的算術平均值是等差數(shù)列”可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項的幾何平均值也應該是等比數(shù)列”不難得到 評析：本題只須由已知條件的特征從形式和結(jié)構(gòu)上對比猜想不難挖掘問題的突破口。

例5、將自然數(shù)不清，2，3，4……排成數(shù)陳(如右圖)，在2處轉(zhuǎn)第一個彎，在3轉(zhuǎn)第二個彎，在5轉(zhuǎn)第三個彎，….，則第2005個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為____________。 解：觀察由1起每一個轉(zhuǎn)彎時遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)為“1，1，2，2，3，3，4，4，……”。故在第2005個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為： 1+2(1+2+3+……+1002)+1003=1006010。 評析：本題求解的關鍵是對圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。具體解題時需要較強的觀察能力及快速探求規(guī)律的能力。因此，它在高考中具有較強的選拔功能。

例6、下表給出一個“等差數(shù)陣”： 4 7 (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… 7 12 (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 　　 其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)。 (I)寫出的值；(II)寫出的計算公式； (III)證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。 　　 解：(I)(詳見第二問一般性結(jié)論)。 　　 (II)該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列： ；　　 第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列： ， ……，第i行是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此 　　 (III)必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得，從而　。 即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。 　　 充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得， 從而可見N在該等差數(shù)陣中。 　　 綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。 評析： 本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。求解關鍵是如何根據(jù)圖表信息求出行列式中對應項的通項公式。

例7、如圖，第n個圖形由第n+2邊形“擴展”而來的。記第n個圖形的頂點數(shù)為，則=　 ?！? 解：由圖易知：從而易知 評析：求解幾何計數(shù)問題通常采用“歸納-猜想-證明”解題思路。本題也可直接求解。第n個圖形由第n+2邊形“擴展”而來的，這個圖形共由n+3個n+2邊形組成，而每個n+2邊形共有n+2個頂點，故第n個圖形的頂點數(shù)為。

例8、如圖是一個類似“楊輝三角”的圖形，第n行共有n個數(shù)，且該行的第一個數(shù)和最后一個數(shù)都是n,中間任意一個數(shù)都等于第n－1行與之相鄰的兩個數(shù)的和， 分別表示第n行的第一個數(shù)，第二個數(shù)，…….第n 個數(shù)。 求的通項式。 解：(1)由圖易知從而知是一階等差數(shù)列，即 以上n-1個式相加即可得到： 評析：“楊輝三角”型數(shù)列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點問題。求解這類題目的關鍵是仔細觀察各行項與行列式的對應關系，通常需轉(zhuǎn)化成一階(或二階)等差數(shù)列結(jié)合求和方法來求解。有興趣的同學不妨求出的通項式。