例2、　　　　　 已知數(shù)列滿足：。 解：由于是知 。 評(píng)析：本題主要通過對(duì)數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì)，從而達(dá)到化歸轉(zhuǎn)化解決問題的目的。其中性質(zhì)探求是關(guān)鍵。

例3、設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=1，2，3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為　　　　　　 . 解析：由橢圓第二定義知，這些線段長(zhǎng)度的最小值為右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離即|FP1|=，最大值為右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離即|FP21|=，故若公差d>0,則同理若公差d<0,則可求得。 評(píng)析：本題很好地將數(shù)列與橢圓的有關(guān)性質(zhì)結(jié)合在一起，形式新穎，內(nèi)容深遂，有一定的難度，可見命題設(shè)計(jì)者的良苦用心。解決的關(guān)鍵是確定該數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公求出公差的取值范圍。

例4、　　　　　 若數(shù)列是等差數(shù)列，則有數(shù)列類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有數(shù)列 解析：由已知“等差數(shù)列前n項(xiàng)的算術(shù)平均值是等差數(shù)列”可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項(xiàng)的幾何平均值也應(yīng)該是等比數(shù)列”不難得到 評(píng)析：本題只須由已知條件的特征從形式和結(jié)構(gòu)上對(duì)比猜想不難挖掘問題的突破口。

例5、將自然數(shù)不清，2，3，4……排成數(shù)陳(如右圖)，在2處轉(zhuǎn)第一個(gè)彎，在3轉(zhuǎn)第二個(gè)彎，在5轉(zhuǎn)第三個(gè)彎，….，則第2005個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為____________。 解：觀察由1起每一個(gè)轉(zhuǎn)彎時(shí)遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)為“1，1，2，2，3，3，4，4，……”。故在第2005個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為： 1+2(1+2+3+……+1002)+1003=1006010。 評(píng)析：本題求解的關(guān)鍵是對(duì)圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。具體解題時(shí)需要較強(qiáng)的觀察能力及快速探求規(guī)律的能力。因此，它在高考中具有較強(qiáng)的選拔功能。

例6、下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”： 4 7 (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… 7 12 (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) (　　 ) …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 　　 其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)。 (I)寫出的值；(II)寫出的計(jì)算公式； (III)證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。 　　 解：(I)(詳見第二問一般性結(jié)論)。 　　 (II)該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列： ；　　 第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列： ， ……，第i行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此 　　 (III)必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得，從而　。 即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。 　　 充分性：若2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得， 從而可見N在該等差數(shù)陣中。 　　 綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。 評(píng)析： 本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。求解關(guān)鍵是如何根據(jù)圖表信息求出行列式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的通項(xiàng)公式。

例8、如圖是一個(gè)類似“楊輝三角”的圖形，第n行共有n個(gè)數(shù)，且該行的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是n,中間任意一個(gè)數(shù)都等于第n－1行與之相鄰的兩個(gè)數(shù)的和， 分別表示第n行的第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，…….第n 個(gè)數(shù)。 求的通項(xiàng)式。 解：(1)由圖易知從而知是一階等差數(shù)列，即 以上n-1個(gè)式相加即可得到： 評(píng)析：“楊輝三角”型數(shù)列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點(diǎn)問題。求解這類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各行項(xiàng)與行列式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通常需轉(zhuǎn)化成一階(或二階)等差數(shù)列結(jié)合求和方法來求解。有興趣的同學(xué)不妨求出的通項(xiàng)式。