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13.(人教版第49頁B組第5題)
證明:
(1)若,則
(2)若,則
變式1:如圖所示,是定義在[0,1]上的四個函數(shù),其中滿足性質(zhì):“對[0,1]中任意的和,任意恒成立”的只有 ( )
A.和 B. C.和 D.
解:當時,符合條件的函數(shù)是凹函數(shù),從圖像可看出有和,選擇A.
變式2:.設(shè)函數(shù)=的圖象如下圖所示,則a、b、c的大小關(guān)系是
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b
解析:f(0)==0,∴b=0.f(1)=1,∴=1.
∴a=c+1.由圖象看出x>0時,f(x)>0,即x>0時,有>0,
∴a>0.又f(x)= ,
當x>0時,要使f(x)在x=1時取最大值1,需x+≥2,
當且僅當x==1時.∴c=1,此時應(yīng)有f(x)==1.∴a=2.
答案:B
變式3:如圖所示,單位圓中弧AB的長為表示弧AB與弦AB
所圍成的弓形面積的2倍,則函數(shù)的圖象是
答案:( D )
設(shè)計意圖:考察圖象與式子運算的能力
14:(北師大版136頁B組第1題)
判斷下列方程在(0,10)內(nèi)是否存在實數(shù)解,并說明理由.
(1) (2)
變式1:設(shè)二次函數(shù),方程的兩個根滿足. 當時,證明.
分析:在已知方程兩根的情況下,根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系,可以寫出函數(shù)的表達式,從而得到函數(shù)的表達式.
證明:由題意可知.
,
∴ ,
∴ 當時,.
又,
∴ ,
綜上可知,所給問題獲證.
變式2:已知二次函數(shù).
(1)若a>b>c, 且f(1)=0,證明f(x)的圖象與x軸有2個交點;
(2)在(1)的條件下,是否存在m∈R,使得f(m)=- a成立時,f(m+3)為正數(shù),若存在,證明你的結(jié)論,若不存在,說明理由;
(3)若對,方程有2個不等實根,
解: (1)
的圖象與x軸有兩個交點.
(2),∴1是的一個根,由韋達定理知另一根為,
∴
在(1,+∞)單調(diào)遞增,,即存在這樣的m使
(3)令,則是二次函數(shù).
有兩個不等實根,且方程的根必有一個屬于.
設(shè)計意圖:考察函數(shù)的零點