1．(人教版第14頁B組第1題)

已知集合，集合滿足，則集合有　　 個.

變式1：已知集合，集合滿足，集合與集合之間滿足的關(guān)系是　　　　　

解：

變式2：已知集合有個元素，則集合的子集個數(shù)有　　 個，真子集個數(shù)有　 個

解：子集個數(shù)有個，真子集個數(shù)有個

變式3：滿足條件的所有集合的個數(shù)是　　 個

解：3必須在集合里面，的個數(shù)相當于2元素集合的子集個數(shù)，所以有4個.

設(shè)計意圖：考察集合的運算與集合之間的關(guān)系

2．(人教版第14頁A組第10題)

已知集合，，求，，，

變式1：已知全集且則等于 A.　　B　　C　　D

解：答案為C，集合，

所以，集合，

所以為

變式2：設(shè)集合，，則等于(　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

解：，，所以，故選B。

變式3．已知集合集合則等于　

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

解：集合，所以答案為D.　

設(shè)計意圖：結(jié)合不等式考察集合的運算

3．(北師大版第21頁B組第2題)已知集合，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求集合和，若不存在，請說明理由.

變式1：已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若，則實數(shù)＝ 　　　?。?/p>

解：由已知

變式2：，，且，則的取值范圍是______　　　 .

解：，當時，，當時，，所以或，所以或，所以

變式3：設(shè)，且，求實數(shù)的值.

解：，因為，所以，所以或或或，當時，，當或時， ，符合題意，當時，

所以或

設(shè)計意圖：結(jié)合參數(shù)討論考察集合運算

4．(北師大版第38頁B組第1題)設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的定義域.

變式1： 函數(shù)的定義域是

　 A.　　　　 B. 　　C. 　　　　D.

解：由，故選B.

變式2：設(shè)，則的定義域為

　 A. 　　　　　　　　　　　　B. 　　

C. 　　　　　　　　　　　　D.

解：選C.由得，的定義域為。故，解得。故的定義域為

設(shè)計意圖：考察函數(shù)的定義域

5．(人教版第84頁B組第4題)

已知函數(shù)，，且

(1)　　　 求函數(shù)定義域

(2)　　　 判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.

變式1：已知是偶函數(shù)，定義域為.則　 ，

　 　

解：函數(shù)是偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱.∴，

變式2：函數(shù)的圖象關(guān)于　　　 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　

A．軸對稱　　　　 B．軸對稱 　　 　C．原點對稱　　 D．直線對稱

解：函數(shù)定義域為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱.

變式3：若函數(shù)是奇函數(shù)，則　　　　

　解：由于是奇函數(shù)，∴，

即，

∴，又，∴

設(shè)計意圖：考察定義域與奇偶性

6．(人教版83頁B組第2題)

若，且，求實數(shù)的取值范圍.

變式1：若，則的取值范圍是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．　 B．　　　 C．　　　　　　　　 D．

解：當時，若，則，∴

當時，若，則，此時無解！

所以選C

變式2：設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是

(A)　　　　　　　 (B)　　　 (C)　　　 (D)

解：要使，且，所以

，又，∴，故選C.

設(shè)計意圖:考察對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

7．(人教A版126頁B組第1題)

經(jīng)濟學家在研究供求關(guān)系時，一般用縱軸表示產(chǎn)品價格(自變量)，而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量(因變量)，下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應(yīng)曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？(圖略)

變式1：某地一年的氣溫Q(t)(單位：℃)與時間t(月份)之間的關(guān)系如圖(1)所示，已知該年的平均氣溫為10℃，令G(t)表示時間段(0，t)的平均氣溫，G(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的應(yīng)該是　　　　　　 (　　 )

10ºc

10ºc

t

	O

6

12

O

O

圖(1)

　　



		B
	A

　

D

10ºc

G(t)

O

6

12

t

C

G(t)

10ºc

6

12

t

O

　　

答案：A

變式2：為了穩(wěn)定市場，確保農(nóng)民增收，某農(nóng)產(chǎn)品的市場收購價格與其前三個月的市場收購價格有關(guān)，且使與其前三個月的市場收購價格之差的平方和最?。粝卤砹谐龅氖窃摦a(chǎn)品前6個月的市場收購價格：

月份	1	2	3	4	5	6	7
價格(元/擔)	68	78	67	71	72	70

　　　 則7月份該產(chǎn)品的市場收購價格應(yīng)為 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．69元　 　　　　　　 B．70元　　　　　　　　　 C．71元　　　　　　　　　 D．72元

答案：C

設(shè)計意圖：考察學生讀圖、讀表的能力

8．(人教版43頁B組第3題)

已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在上是減函數(shù)，判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷.

變式1：下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

A. 　　　　　B. 　　

　C. 　　　　　　D.

解：B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是奇函數(shù),是減函數(shù);故選A.

變式2：函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若,則實數(shù)的取值范圍是 (　 )

A.　 B.　　 C.　　 D.或

解：當時，∵函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，∴在上是減函數(shù)，所以若，則，當時，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且，∴，故選D

設(shè)計意圖：考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系

9．(人教版第49頁B組第4題)

已知函數(shù)，求，，的值

變式1：設(shè)則__________

解：.

變式2：已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是

A.　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　　　　　　　 D.

解：分段函數(shù)的單調(diào)性需分段處理.答案選C

變式3：設(shè)函數(shù)f(x)=　 　則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為

A.(－∞，－2］∪［0，10］　　　　　　　　　　　　　 B.(－∞，－2］∪［0，1］

C.(－∞，－2］∪［1，10］　　　　　　　　　　　　　 D.［－2，0］∪［1，10］

解：當x＜1時，f(x)≥1(x+1)²≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.

當x≥1時，f(x)≥14－≥1≤31≤x≤10.

綜上，知x≤－2或0≤x≤10.

答案：A

設(shè)計意圖：考察分段函數(shù)的概念和性質(zhì)

10．(北師大版54頁A組第5題)

對于下列函數(shù)，試求它們在指定區(qū)間上的最大值或最小值，并指出這時的值

(2)，

變式1：函數(shù)在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則的值為( )

A．　　　 B.2　 　　C.4　　　　 D.

解：當或時，函數(shù)都是定義域上的單調(diào)函數(shù)，

∴，故選C.

變式2：若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則的值為( )

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　 D．

解：∵，∴是定義域上的減函數(shù)，所以，，∴，故選A

設(shè)計意圖：考察函數(shù)的最值

11.(人教版65頁第8題)

已知下列等式，比較，的大小

(1)　　 (2)

變式1：設(shè)，那么　 (　　 )

A.a＜a＜b　　　　　　　　　　　　　 B.a＜ b＜a

C.a＜a＜b　　　　　　　　　　　　　 D.a＜b＜a

解：由，在A和B中，在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，∴，所以結(jié)論不成立.在C中，在內(nèi)是單調(diào)遞增的，又，所以答案為C.

變式2：已知，則　 (　 )

A．　　　　 B.　

B.　　　　　 D.

解：由已知，因為在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以

答案為A.

變式3：已知函數(shù)的圖象與函數(shù)(且)的圖象關(guān)于直線對稱，記．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是(　)

　　 A．　　 　 B．　　 　C．　　　　 D．　

分析：本題根據(jù)反函數(shù)的定義求出的解析式，再用換元法判斷的單調(diào)性，結(jié)合條件在區(qū)間上是增函數(shù)，求出實數(shù)的取值范圍是，答案為D　

設(shè)計意圖：考察指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

12．(人教版48頁A組第8題)

設(shè)，求證：(1)　 (2)

變式1：函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__________.

解：，，又

，∴，

∴

變式2：若奇函數(shù)滿足，則　　

解：由已知，令，則，又∵是奇函數(shù)，所以，

∴，∴

變式3：函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于

A.　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：由題知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?、?/p>

以代，①式得，即　 ?、?/p>

①+②得

答案：A

設(shè)計意圖：考察函數(shù)的抽象運算與綜合性質(zhì)

13．(人教版第49頁B組第5題)

證明：

(1)若，則

(2)若，則

變式1：如圖所示，是定義在［0，1］上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對［0，1］中任意的和，任意恒成立”的只有　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．和　 　 B．　　　　　　 C．和　　 D．

解：當時，符合條件的函數(shù)是凹函數(shù)，從圖像可看出有和，選擇A.

變式2：.設(shè)函數(shù)=的圖象如下圖所示，則a、b、c的大小關(guān)系是

A.a＞b＞c　　　　　　　　　　 B.a＞c＞b　　　　　　　　　　 C.b＞a＞c　　　　　　　　　　 D.c＞a＞b

解析：f(0)==0，∴b=0.f(1)=1，∴=1.

∴a=c+1.由圖象看出x＞0時，f(x)＞0，即x＞0時，有＞0，

∴a＞0.又f(x)= ，

當x＞0時，要使f(x)在x=1時取最大值1，需x+≥2，

當且僅當x==1時.∴c=1，此時應(yīng)有f(x)==1.∴a=2.

答案：B

變式3：如圖所示，單位圓中弧AB的長為表示弧AB與弦AB

所圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)的圖象是　　　　　 　　

答案：( D )

設(shè)計意圖：考察圖象與式子運算的能力

14：(北師大版136頁B組第1題)

判斷下列方程在(0，10)內(nèi)是否存在實數(shù)解，并說明理由.

(1)　 (2)

變式1：設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足.　 當時，證明.

分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式.

證明：由題意可知.

,

∴ ,

∴　 當時，.

又,

　　

∴　 ,

綜上可知，所給問題獲證.

變式2：已知二次函數(shù)．

　 (1)若a>b>c，　且f(1)=0，證明f(x)的圖象與x軸有2個交點；

　 (2)在(1)的條件下，是否存在m∈R，使得f(m)=－ a成立時，f(m+3)為正數(shù)，若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，說明理由；

　 (3)若對，方程有2個不等實根，

解:　(1)

　

的圖象與x軸有兩個交點.

　 (2)，∴1是的一個根，由韋達定理知另一根為，

∴

　

　在(1，+∞)單調(diào)遞增，，即存在這樣的m使

　

　(3)令，則是二次函數(shù).

　有兩個不等實根，且方程的根必有一個屬于.

設(shè)計意圖：考察函數(shù)的零點

15．(北師大版第66頁B組第3題)

求二次函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最小值的表達式.

變式1：設(shè)a為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為g(a).

　(Ⅰ)設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)

(Ⅱ)求g(a)

(Ⅲ)試求滿足的所有實數(shù)a

解：(I)∵，

∴要使有意義，必須且，即

∵，且……①　　 ∴的取值范圍是。

由①得：，∴，。

(II)由題意知即為函數(shù)，的最大值，

∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：

(1)當時，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由知在上單調(diào)遞增，故；

(2)當時，，，有=2；

(3)當時，，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若即時，，

若即時，，

若即時，。

綜上所述，有=。

(III)當時，；

　　　 當時，，，∴，

，故當時，；

當時，，由知：，故；

當時，，故或，從而有或，

要使，必須有，，即，

此時，。

綜上所述，滿足的所有實數(shù)a為：或。

設(shè)計意圖：考察二次函數(shù)的最值與分類討論的思想

16．(人教版84頁B組第5題)

試著舉幾個滿足“對定義域內(nèi)任意實數(shù)，，都有”的函數(shù)例子.

變式1：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是N^*，且，，則f(25)= ___________________.

解析：由

∴

同理，f(3)－f(2)=3.

……

f(25)－f(24)=25.

∴f(25)=1+2+3+…+25=325.

答案：325

變式2：設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，都有

(1)設(shè)，求　

(2)證明是周期函數(shù).

(1)解：由知， x∈［0，1］.

因為f(1)=f().f()=［f()］²，及f(1)=2，所以f()=2.

因為f()=f().f()=［f()］²，及f()=2，所以f()=2.

(2)證明：依題設(shè)關(guān)于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1－x)f(x)=f(2－x)，x∈R.

又由f(x)是偶函數(shù)知f(－x)=f(x)，x∈R，所以f(－x)=f(2－x)，x∈R.將上式中－x以x代換，得f(x)=f(x+2)，x∈R.

這表明是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期.

變式3：設(shè)函數(shù)定義在R上，對任意實數(shù)m、n，恒有且當

(1)求證：f(0)=1，且當x＜0時，f(x)＞1；

(2)求證：f(x)在R上遞減；

(3)設(shè)集合A={(x，y)|f(x²).f(y²)＞f(1)}，B={(x，y)|f(ax－y+2)=1，

a∈R}，若A∩B=，求a的取值范圍.

(1)證明：在f(m+n)=f(m)f(n)中，

令m=1，n=0，得f(1)=f(1)f(0).

∵0＜f(1)＜1，∴f(0)=1.

設(shè)x＜0，則－x＞0.令m=x，n=－x，代入條件式有f(0)=f(x).f(－x)，而f(0)=1，

∴f(x)=＞1.

(2)證明：設(shè)x₁＜x₂，則x₂－x₁＞0，∴0＜f(x₂－x₁)＜1.

令m=x₁，m+n=x₂，則n=x₂－x₁，代入條件式，得f(x₂)=f(x₁).f(x₂－x₁)，

即0＜＜1.∴f(x₂)＜f(x₁).

∴f(x)在R上單調(diào)遞減.

(3)　　　 解：由

又由(2)知f(x)為R上的減函數(shù)，∴點集A表示圓的內(nèi)部.由f(ax－y+2)=1得ax－y+2=0點集B表示直線ax－y+2=0.

∵A∩B=，∴直線ax－y+2=0與圓相離或相切。

于是

設(shè)計意圖：考察抽象函數(shù)的性質(zhì)及抽象運算的能力和數(shù)形結(jié)合的思想。