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16.(人教版84頁B組第5題)
試著舉幾個滿足“對定義域內(nèi)任意實數(shù),,都有”的函數(shù)例子.
變式1:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是N*,且,,則f(25)= ___________________.
解析:由
∴
同理,f(3)-f(2)=3.
……
f(25)-f(24)=25.
∴f(25)=1+2+3+…+25=325.
答案:325
變式2:設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線對稱,對任意,都有
(1)設(shè),求
(2)證明是周期函數(shù).
(1)解:由知, x∈[0,1].
因為f(1)=f().f()=[f()]2,及f(1)=2,所以f()=2.
因為f()=f().f()=[f()]2,及f()=2,所以f()=2.
(2)證明:依題設(shè)關(guān)于直線x=1對稱,故f(x)=f(1+1-x)f(x)=f(2-x),x∈R.
又由f(x)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x),x∈R,所以f(-x)=f(2-x),x∈R.將上式中-x以x代換,得f(x)=f(x+2),x∈R.
這表明是R上的周期函數(shù),且2是它的一個周期.
變式3:設(shè)函數(shù)定義在R上,對任意實數(shù)m、n,恒有且當
(1)求證:f(0)=1,且當x<0時,f(x)>1;
(2)求證:f(x)在R上遞減;
(3)設(shè)集合A={(x,y)|f(x2).f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,
a∈R},若A∩B=,求a的取值范圍.
(1)證明:在f(m+n)=f(m)f(n)中,
令m=1,n=0,得f(1)=f(1)f(0).
∵0<f(1)<1,∴f(0)=1.
設(shè)x<0,則-x>0.令m=x,n=-x,代入條件式有f(0)=f(x).f(-x),而f(0)=1,
∴f(x)=>1.
(2)證明:設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1.
令m=x1,m+n=x2,則n=x2-x1,代入條件式,得f(x2)=f(x1).f(x2-x1),
即0<<1.∴f(x2)<f(x1).
∴f(x)在R上單調(diào)遞減.
(3) 解:由
又由(2)知f(x)為R上的減函數(shù),∴點集A表示圓的內(nèi)部.由f(ax-y+2)=1得ax-y+2=0點集B表示直線ax-y+2=0.
∵A∩B=,∴直線ax-y+2=0與圓相離或相切。
于是
設(shè)計意圖:考察抽象函數(shù)的性質(zhì)及抽象運算的能力和數(shù)形結(jié)合的思想。