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53、已知函數(shù),當點在的圖像上移動時,
點在函數(shù)的圖像上移動.
(1) 若點P坐標為(),點Q也在的圖像上,求的值;
(2) 求函數(shù)的解析式;
(3) 當時,試探求一個函數(shù)使得在限定定義域為
時有最小值而沒有最大值.
解:(1)當點坐標為(),點的坐標為,…………2分 ∵點也在的圖像上,∴,即.……5分
(根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得,請相應(yīng)給分) (2)設(shè)在的圖像上 則,即 ……………………………………8分 而在的圖像上,∴ 代入得,為所求.…………………………………11分
(3);或 等. …………………15分 如:當時,
∵在單調(diào)遞減, ∴ 故 , 即有最小值,但沒有最大值.………………………18分
(其他答案請相應(yīng)給分)
(參考思路)在探求時,要考慮以下因素:①在上必須有意義(否則不能參加與的和運算);②由于和都是以為底的對數(shù),所以構(gòu)造的函數(shù)可以是以為底的對數(shù),這樣與和進行的運算轉(zhuǎn)化為真數(shù)的乘積運算;③以為底的對數(shù)是減函數(shù),只有當真數(shù)取到最大值時,對數(shù)值才能取到最小值;④為方便起見,可以考慮通過乘積消去;⑤乘積的結(jié)果可以是的二次函數(shù),該二次函數(shù)的圖像的對稱軸應(yīng)在直線的左側(cè)(否則真數(shù)會有最小值,對數(shù)就有最大值了),考慮到該二次函數(shù)的圖像與軸已有了一個公共點,故對稱軸又應(yīng)該是軸或在軸的右側(cè)(否則該二次函數(shù)的值在上的值不能恒為正數(shù)),即若拋物線與軸的另一個公共點是,則,且拋物線開口向下.