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4．(人教A版選修1－1，2－1第47頁習題2.1B組第3題)
如圖，矩形ABCD中，
，
，E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，
，
，
是線段CF的四等分點．請證明直線ER與
、ES與
、ET與
的交點L，M，N在同一個橢圓上．
變式1：直線
與雙曲線
的右支交于不同的兩點A、B.若雙曲線C的右焦點F在以AB為直徑的圓上時，則實數(shù)
．
解：將直線代入雙曲線C的方程
整理，得
……①
依題意，直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點，故
解得
．
設A、B兩點的坐標分別為
、
，則由①式得
……②
∵雙曲線C的右焦點F 
在以AB為直徑的圓上，則由FA⊥FB得：
整理，得
……③
把②式及
代入③式化簡，得
解得
，故
．
變式2(2002年廣東卷)：A、B是雙曲線
上的兩點，點N(1，2)是線段AB的中點．
(Ⅰ)求直線AB的方程；
(Ⅱ)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？
解：(Ⅰ)直線AB的方程為
．(求解過程略)
(Ⅱ)聯(lián)立方程組
得
、
．
由CD垂直平分AB，得CD方程為
．
代入雙曲線方程整理，得
．
記
，
以及CD的中點為
，
則有
從而
．
∵
．
∴
．
又
．
即A、B、C、D四點到點M的距離相等．
故A、B、C、D四點共圓．
變式3(2005年湖北卷)：設A、B是橢圓
上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.
(Ⅰ)確定
的取值范圍，并求直線AB的方程；
(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.
(Ⅰ)解法1：依題意，可設直線AB的方程為
整理，得
①
設
①的兩個不同的根，
?、?/p>
是線段AB的中點，得
解得
＝－1，代入②得，＞12，即的取值范圍是(12，+
).
于是，直線AB的方程為
解法2：設
依題意，
(Ⅱ)解法1：
代入橢圓方程，整理得
?、?/p>
③的兩根，
于是由弦長公式可得
?、?/p>
將直線AB的方程
?、?/p>
同理可得
⑥
假設在在＞12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為
⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故當
時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，
為半徑的圓上.
(注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：
A、B、C、D共圓
△ACD為直角三角形，A為直角
⑧
由⑥式知，⑧式左邊＝
由④和⑦知，⑧式右邊＝
∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓
解法2：由(Ⅱ)解法1及.
代入橢圓方程，整理得
③
解得
.
將直線AB的方程
代入橢圓方程，整理得
⑤ 解得
.
不妨設
∴
計算可得
，∴A在以CD為直徑的圓上.
又點A與B關于CD對稱，∴A、B、C、D四點共圓.
(注：也可用勾股定理證明AC⊥AD)