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7.(人教A版選修2-1第67頁例5)
過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,求證:直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸.
變式(2001年全國(guó)卷):設(shè)拋物線()的焦點(diǎn)為 F,經(jīng)過點(diǎn) F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).點(diǎn) C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥X軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.
證明1:因?yàn)閽佄锞€()的焦點(diǎn)為,所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為
,代人拋物線方程得
.
若記,,則是該方程的兩個(gè)根,所以
.
因?yàn)?i>BC∥X軸,且點(diǎn)C在準(zhǔn)線上,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為,
故直線CO的斜率為
即也是直線OA的斜率,所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.
證明2:如圖,記X軸與拋物線準(zhǔn)線L的交點(diǎn)為E,
過A作AD⊥L,D是垂足.則
AD∥FE∥BC.
連結(jié)AC,與EF相交于點(diǎn)N,則
根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì),|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ,
即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn),與拋物線的頂點(diǎn)O重合,所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.
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