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8.(人教A版選修1-1第74頁,2-1第85頁復(fù)習(xí)參考題A組第8題)
斜率為2的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),且,求直線的方程.
變式1(2002年上海卷):已知點(diǎn)和,動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對值為2,點(diǎn)C的軌跡與直線交于D、E兩點(diǎn),求線段DE的長.
解:根據(jù)雙曲線的定義,可知C的軌跡方程為.
聯(lián)立得.
設(shè),,則.
所以.
故線段DE的長為.
變式2:直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)A和B,且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求k的值.
解:將代入,得.
由直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),得
即.
設(shè),則.
由,得.
而
.
于是.解得.故k的值為.
變式3:已知拋物線.過動(dòng)點(diǎn)M(,0)且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B.若,求a的取值范圍.
解:直線的方程為,
將 ,
得 .
設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為、,
則
又,
∴
.
∵ ,
∴ .
解得.