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6.(人教A版選修1-1,2-1第66頁例4)
斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.
變式1:如果,,…,是拋物線上的點,它們的橫坐標依次為,,…,,F是拋物線的焦點,若,則___.
解:根據(jù)拋物線的定義,可知(,2,……,8),
∴.
變式2(2004年湖南卷理):設(shè)F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點使,組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 .
解:設(shè),則,于是,即,由于,,故,又,故.
變式3(2006年重慶卷文):如圖,對每個正整數(shù),是拋物線上的點,過焦點的直線交拋物線于另一點.
(Ⅰ)試證:;
(Ⅱ)取,并記為拋物線上分別以與為切點的兩條切線的交點.試證:.
證明:(Ⅰ)對任意固定的,因為焦點,所以可設(shè)直線的方程為,將它與拋物線方程聯(lián)立,
得,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得.
(Ⅱ)對任意固定的,利用導數(shù)知識易得拋物線在處的切線的斜率,故在處的切線方程為, ①
類似地,可求得在處的切線方程為, ②
由②減去①得,
從而, ,, ③
將③代入①并注意到得交點的坐標為.
由兩點間距離公式,得
=.從而.
現(xiàn)在,利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得,
…
…
=.