第四節(jié) 直角三角形

 

【回顧與思考】

    直角三角形

 

【例題經(jīng)典】

 

直角三角形兩銳角互余

例1．如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則∠ABC+∠DFE=______．

    【分析】∠ABC與∠DFE分布在兩個直角三角形中，若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解．

【解答】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，

∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填90°．

    【點評】此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，并運用與它相關(guān)的性質(zhì)進行解題．

 

特殊直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用

例2．（2006年包頭市）《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”．一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60°的A點行駛到北偏西30°的B點，所用時間為1．5秒．

  （1）試求該車從A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速．

【解析】（1）要求該車從A點到B點的速度．只需求出AB的距離，

在△OAC中，OC=25米．∵∠OAC=90°-60°=30°，∴OA=2CO=50米

    由勾股定理得CA==25（米）

    在△OBC中,∠BOC=30°

    ∴BC=OB.

    ∴（2BC）2=BC2+252

    ∴BC=（米）

    ∴AB=AC-BC=25-=（米）

    ∴從A到B的速度為÷1.5=（米/秒）

    （2）米/秒≈69.3千米/時

    ∵69.3千米/時<70千米/時

    ∴該車沒有超過限速．

    【點評】此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用．

 

勾股定理的逆定理的應(yīng)用

例3．如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點叫做格點，小華按下列要求作圖：①在正方形網(wǎng)格的三條不同的實線上各取一個格點，使其中任意兩點不在同一實線上；②連結(jié)三個格點，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正方形網(wǎng)格中作出了Rt△ABC．請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網(wǎng)格中各畫出一個直角三角形，并使三個網(wǎng)格中的直角三角形互不全等．

    簡析：此題的答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特征，可以根據(jù)勾股定理的逆定理“有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形，答案如下圖．

 

【考點精練】

一、基礎(chǔ)訓練

1．如圖1，修建抽水站時，沿著傾斜角為30°的斜坡鋪設(shè)管道，若量得水管AB的長度為80米，那么點B離水平面的高度BC的長為________米．

試題詳情

                        

         （1）                     （2）                 （3）

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2．如圖2，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD=2AB，若沿過點D的折痕DE將A角翻折，使點A落在BC上的A處，則∠EAB=_________度．

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3．如圖3，矩形紙片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿對角線BD折疊（使△ABD和△EBD落在同一平面內(nèi)），則A、E兩點間的距離為________．

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4．如圖4，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點測得D點的俯角為30°，測得C點的俯角為60°，則建筑物CD的高為_______米．

試題詳情

                

           （4）                  （5）                   （6）

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5．（2006年鹽城市）如圖5，AB是⊙O的弦，圓心O到AB的距離OD=1，AB=4，則該圓的半徑是________．

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6．（2006年河南�。┤鐖D6，C、D是兩個村莊，分別位于一個湖的南、北兩端的A和B的正東方向上，且D位于C的北偏東30°方向上，CD=6km，則AB=_______km．

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7．（2005年吉林�。┤鐖D7，在Rt△ADB中，∠D=90°，C為AD上一點，則x可能是（  ）

A．10°     B．20°     C．30°     D．40°

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           （7）                       （8）                   （9）

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8．將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖8所示的圖形，已知∠CED=60°，則∠AED的大小是（  ）

    A．60°    B．50°     C．75°     D．55°

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9．如圖9，電線桿AB的中點C處有一標志物，在地面D點處測得標志物的仰角為45°，若點D到電線桿底部點B的距離為a，則電線桿AB的長可表示為（  ）

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    A．a(chǎn)      B．2a      C．a      D．a

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10．（2006年煙臺市）如圖10，CD是Rt△ABC斜邊上的高，將△BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則∠A等于（  ）

A．25°     B．30°     C．45°    D．60°

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               （10）                （11）                 （12）

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11．（2005年武漢市）如圖11，一電線桿AB的高為10米，當太陽光線與地面的夾角為60°時，其影長AC約為（取1.732，結(jié)果保留3個有效數(shù)字）（  ）

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    A．5.00米     B．8.66米     C．17.3米     D．5.77米

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12．（2006年包頭市）如圖12，將等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′，若AC=1，則圖中陰影部分的面積為（  ）

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    A．      B．      C．       D．3

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二、能力提升

13．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為長邊在△ABC外作矩形，使其每個矩形的寬為長的一半，S1、S2、S3分別表示這三個長方形的面積，則S1、S2、S3之間有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

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14．已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別是AC、AB的中點，點F在BC的延長線上，且∠CDF=∠A．求證：四邊形DECF是平行四邊形．

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15．（2006年日照市）如圖，已知等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，連接AE、BF．

求證：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．

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三、應(yīng)用與探究

16．（2006年棗莊市）兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE與三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由．

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答案：

考點精練 

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1．40  2．60  3．2  4．20  5．  6．3 

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7．B  8．A  9．B  10．B  11．D 12．B 

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13．S1+S2=S3．證略 

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14．證△DFC≌△AED．根據(jù)一組對邊平行且相等證得四邊形DECF是平行四邊形 

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15．（1）證△AOE≌△BOF可得AE=BF 

（2）∵OE⊥OF，BF⊥OF，

∴BF∥OE，AE⊥OE，∴AE⊥BF 

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16．連接AM，可證∠MDA=∠MAB=45°，∠MDE=∠MAC=105°，

∴△EDM≌△CAM．∴EM=MC．從而可證CM⊥EM，

∴△EMC是等腰直角三角形．

 

 

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