題目列表(包括答案和解析)
已知 設(shè)P:函數(shù)在R上單調(diào)遞減; Q:不等式的解集為R,若“P或Q”是真命題,“P且Q”是假命題,求的取值范圍.
[解題思路]:“P或Q”是真命題,“P且Q”是假命題,根據(jù)真假表知,P,Q之中一真一假,因此有兩種情況,要分類討論.
已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列,且滿足.
(1) 求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2) 若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第項(xiàng)、……,余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列,試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3) 在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在正整數(shù),使得?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】第一問中解:由得,,
又因?yàn)榇嬖诔?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,
則即,所以p=1
故數(shù)列為首項(xiàng)是2,公比為2的等比數(shù)列,即.
此時(shí)也滿足,則所求常數(shù)的值為1且
第二問中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:
(i)當(dāng)時(shí),;
(ii) 當(dāng)時(shí),,
所以
第三問假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則,
則(i)當(dāng)時(shí),
,
已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;www.7caiedu.cn
(2)若對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.
【解析】根據(jù)與是的兩個(gè)根,可求出a,b的值,然后利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)區(qū)間即可.
(2)此題本質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)其函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值,然后利用,即可解出c的取值范圍.
已知函數(shù)其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), .(Ⅰ)設(shè),求函數(shù)的最值;(Ⅱ)若對(duì)于任意的,都有成立,求的取值范圍.
【解析】第一問中,當(dāng)時(shí),,.結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)判定單調(diào)性和極值,進(jìn)而得到最值。
第二問中,∵,,
∴原不等式等價(jià)于:,
即, 亦即
分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,.
當(dāng)在上變化時(shí),,的變化情況如下表:
|
- |
+ |
|
||
1/e |
∴時(shí),,.
(Ⅱ)∵,,
∴原不等式等價(jià)于:,
即, 亦即.
∴對(duì)于任意的,原不等式恒成立,等價(jià)于對(duì)恒成立,
∵對(duì)于任意的時(shí), (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).
∴只需,即,解之得或.
因此,的取值范圍是
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