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（本小題滿分14分）
如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道，是直角頂點）來處理污水，管道越短，鋪設(shè)管道的成本越低.設(shè)計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上。已知米，米，記。

（Ⅰ）試將污水凈化管道的長度表示為的函數(shù)，并寫出定義域；
（Ⅱ）若，求此時管道的長度；
（Ⅲ）問：當(dāng)取何值時，鋪設(shè)管道的成本最低？并求出此時管道的長度。

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一、DDBCD  CABCA

二、11．1；       12．；     13．           14．；    15．；

16．

三．解答題（本大題共6小題，共76分）

17．解：（1）法一：由題可得；

法二：由題，

故，從而；

法三：由題，解得，

故，從而。

（2），令，

則，

在單調(diào)遞減，

故，

從而的值域為。

18．解：（1）的可能取值為0,1,2,3,4，，

，

，，。

因此隨機(jī)變量的分布列為下表所示；

0

1

2

3

4

（2）由⑴得：，

19．法一：（1）連接，設(shè)，則。

因為，所以，故，從而，

故。

又因為，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號。

此時為邊的中點，為邊的中點。

故當(dāng)為邊的中點時，的長度最小，其值為

（2）連接，因為此時分別為的中點，

故，所以均為直角三角形，

從而，所以即為直線與平面所成的角。

因為，所以即為所求；

（3）因，又，所以。

又，故三棱錐的表面積為

。

因為三棱錐的體積，

所以。

法二：（1）因，故。

設(shè)，則。

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)取等號。此時為邊的中點。

故當(dāng)為的中點時，的長度最小，其值為；

（2）因，又，所以。

記點到平面的距離為，

因，故，解得。

因，故；

（3）同“法一”。

法三：（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號。

此時為邊的中點，為邊的中點。

故當(dāng)為邊的中點時，的長度最小，其值為；

（2）設(shè)為面的法向量，因，

故。取，得。

又因，故。

因此，從而，

所以；

（3）由題意可設(shè)為三棱錐的內(nèi)切球球心，

則，可得。

與（2）同法可得平面的一個法向量，

又，故，

解得。顯然，故。

20．解：（1）當(dāng)時，。令得，

故當(dāng) 時，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，單調(diào)遞減。

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）法一：因，故。

令，

要使對滿足的一切成立，則，

解得；

法二：，故。

由可解得。

因為在單調(diào)遞減，因此在單調(diào)遞增，故。設(shè)，

則，因為，

所以，從而在單調(diào)遞減，

故。因此，即。

（3）因為，所以

即對一切恒成立。

，令，

則。因為，所以，

故在單調(diào)遞增，有。

因此，從而。

所以。

21．解：（1）設(shè)，則由題，

由得，故。

又根據(jù)可得，

即，代入可得，

解得（舍負(fù)）。故的方程為；

（2）法一：設(shè)，代入得，

故，

從而

因此。

法二：顯然點是拋物線的焦點，點是其準(zhǔn)線上一點。

設(shè)為的中點，過分別作的垂線，垂足分別為，

則。

因此以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切（于點）。

若與重合，則。否則點在外，因此。

綜上知。

22．證明：（1）因，故。

顯然，因此數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列；

（2）由⑴知，解得；

（3）因為

所以。

又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），

故。

綜上可得。（亦可用數(shù)學(xué)歸納法）