3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件

2．畫出不等式組表示的平面區(qū)域　

1．畫出不等式－+2y－4＜0表示的平面區(qū)域.

[例1] ．畫出不等式組表示的平面區(qū)域.

錯解：如圖(1)所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.

錯因一是實虛線不清，二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯了.

正解：如圖(2)所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.

[例2] 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范圍.

錯解：由于　1x－y2　①,

2x+y4　�、�,

①+② 得32x6　　 ③

①×(－1)+② 得：02y3　 ④.

③×2+④×(－1)得. 34x－2y12

錯因：可行域范圍擴大了.

正解：線性約束條件是：

令z＝4x－2y，

畫出可行域如右圖所示，

由得A點坐標(biāo)(1.5，0.5)此時z＝4×1.5－2×0.5＝5.

由得B點坐標(biāo)(3，1)此時z＝4×3－2×1＝10.

　 54x－2y10

　[例3] 已知,求x²+y²的最值.

錯解：不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界)，

令z= x²+y²

由得A點坐標(biāo)(4，1)，

此時z＝x²+y²＝4²+1²＝17，

由得B點坐標(biāo)(－1，－6)，

此時z＝x²+y²＝(－1)²+(－6)²＝37，

由得C點坐標(biāo)(－3，2)，

此時z＝x²+y²＝(－3)²+2²＝13，

　 當(dāng)時x²+y²取得最大值37，當(dāng)時x²+y²取得最小值13.

錯因：誤將求可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方的最值誤認(rèn)為是求三點A、B、C到原點的距離的平方的最值.

正解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部(包括邊界)，

令z= x²+y²,則z即為點(x，y)到原點的距離的平方.

由得A點坐標(biāo)(4，1)，

此時z＝x²+y²＝4²+1²＝17，

由得B點坐標(biāo)(－1，－6)，

此時z＝x²+y²＝(－1)²+(－6)²＝37，

由得C點坐標(biāo)(－3，2)，

此時z＝x²+y²＝(－3)²+2²＝13，

而在原點處，，此時z＝x²+y²＝0²+0²＝0，

　 當(dāng)時x²+y²取得最大值37，當(dāng)時x²+y²取得最小值0.

　[例4]某家具廠有方木料90m³，五合板600m²，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m³，五合板2m²，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m³，五合板1m²，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤最大？

分析： 數(shù)據(jù)分析列表

設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y張，利潤z元，則約束條件為

2x+y-600=0 　 　 A(100,400) 　　　　　　　 x+2y-900=0 　 　2x+3y=0

目標(biāo)函數(shù)z=80x+120y

作出上可行域：

作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過點A(100，400)時，即合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400張，有最大利潤為

z_max=80×100+400×120=56000(元)

若只生產(chǎn)書桌，得0<x≤300，即最多生產(chǎn)300張書桌，利潤為

z=80×300=24000(元)

若只生產(chǎn)書櫥，得0<y≤450，即最多生產(chǎn)450張書櫥，利潤為z=120×450=54000(元)

　　 答：略

[例5]某鋼材廠要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如下表：

每張鋼板的面積，第一種為1m²，第二種為2 m²，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各12、15、27塊，請你們?yōu)樵搹S計劃一下，應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少張，可以得到所需的三種規(guī)格成品，而且使所用鋼板的面積最��？只用第一種鋼板行嗎？

　 解：設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為z m²，則

　　 目標(biāo)函數(shù)z=x+2y

作出可行域如圖

作一組平行直線x+2y=t，

2x+y=15 　 　 　 　 　 　 x+y=12　　　 x+3y=27 　 x+2y=0

由

可得交點，

但點不是可行域內(nèi)的整點，其附近的整點(4，8)或(6，7)可都使z有最小值，

且z_min=4+2×8=20 或z_min=6+2×7=20

若只截第一種鋼板，由上可知x≥27，所用鋼板面積最少為z=27(m²);

若只截第二種鋼板，則y≥15，最少需要鋼板面積z=2×15=30(m²).

它們都比z_min大，因此都不行.

答：略

　[例6]設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值.

解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知，

當(dāng)與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個，

當(dāng)經(jīng)過點時，對應(yīng)最小，∴，．

說明：1．線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得；

2．線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個.

5.簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：(1)尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.

4.對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點．

3. 平 移 直 線 y＝－kx +P時，直線必須經(jīng)過可行域．

2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點法”：任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域．若 直 線 不 過 原點，通 常 選 擇 原 點 代入檢驗．

線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計、經(jīng)濟管理中實際問題的專門學(xué)科.主要在以下兩類問題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù).

1.對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線．

5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃．