4．對(duì)解組合問題，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：

(1)對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算，是解組合題的常用方法；

(2)是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；

(3)設(shè)計(jì)“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。

3．對(duì)于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：

(1)元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；

(2)位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；

(3)整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。

2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。

解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律

1．分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理使用方法有兩種：①單獨(dú)使用；②聯(lián)合使用。

題型1：計(jì)數(shù)原理

例1．完成下列選擇題與填空題

(1)有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有　　　 種.

A．81　　　　　　　　　　　　　 B．64　　　　　　　　　　　　　 C．24　　　　　　　　　　　　　 D．4

(2)四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是(　　 )

A．81　　　　　　　　　　　　　 B．64　　　　　　　　　　　　　 C．24　　　　　　　　　　　　　 D．4

(3)有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽，

①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽，則有不同的參賽方法有　　　　　 ；

②每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有　　　　　　 ；

③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽，每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有　　　　 　　。

解析：(1)完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，是選用基本原理的關(guān)鍵。將“投四封信”這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法，因此：N=3×3×3×3=3⁴=81，故答案選A。

本題也可以這樣分類完成，①四封信投入一個(gè)信箱中，有C₃¹種投法；②四封信投入兩個(gè)信箱中，有C₃²(C₄¹·A₂²+C₄²·C₂²)種投法；③四封信投入三個(gè)信箱，有兩封信在同一信箱中，有C₄²·A₃³種投法^、，故共有C₃¹+C₃²(C₄¹·A₂²+C₄²C₂²)+C₄²·A₃³=81(種)。故選A。

(2)因?qū)W生可同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將4名學(xué)生看作4個(gè)“店”，3項(xiàng)冠軍看作“客”，每個(gè)“客”都可住進(jìn)4家“店”中的任意一家，即每個(gè)“客”有4種住宿法。由分步計(jì)數(shù)原理得：N=4×4×4=64。

故答案選B。

(3)①學(xué)生可以選擇項(xiàng)目，而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)學(xué)生無條件限制，所以類似(1)可得N=3⁴=81(種)；

②競(jìng)賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生，而學(xué)生無選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì)，每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生，共有N=4³=64(種)；

③等價(jià)于從4個(gè)學(xué)生中挑選3個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)賽，每人參加一項(xiàng)，故共有C₄³·A₃³=24(種)。

例2．(06江蘇卷)今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有　種不同的方法(用數(shù)字作答).

解析：本題考查排列組合的基本知識(shí)，由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題，共有。

點(diǎn)評(píng)：分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，在高中數(shù)學(xué)中，只有這兩個(gè)原理，尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時(shí)，用分類的方法可以有效的將之化簡(jiǎn),達(dá)到求解的目的.

題型2：排列問題

例3．(1)(2009浙江卷理)在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是(　 )　　　

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．

答案　　 B

解析 對(duì)于，對(duì)于，則的項(xiàng)的系數(shù)是

[點(diǎn)評(píng)]：此題重點(diǎn)考察二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，以及組合思想；

[突破]：利用組合思想寫出項(xiàng)，從而求出系數(shù)；

(2)．(2009江西卷理)展開式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，則的值可能為

　 A．　　 　　　B．　

　C．　　　　 D． 　　　　　　

答案　　 D

解析　　 ，，則可取，選D

點(diǎn)評(píng)：合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問題，首先應(yīng)該進(jìn)入排列問題的情景，想清楚我處理時(shí)應(yīng)該如何去做。

例4．(1)用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有　　個(gè)(用數(shù)字作答)；

(2)電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有　　　　　 種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示).

解析：(1)可以分情況討論：① 若末位數(shù)字為0，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，4，各為1個(gè)數(shù)字，共可以組成個(gè)五位數(shù)；② 若末位數(shù)字為2，則1與它相鄰，其余3個(gè)數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，則有個(gè)五位數(shù)；③ 若末位數(shù)字為4，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，0，各為1個(gè)數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，則有=8個(gè)五位數(shù)，所以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè)。

(2)分二步：首尾必須播放公益廣告的有A₂²種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A₄⁴種，從而應(yīng)當(dāng)填 A₂²·A₄⁴＝48. 從而應(yīng)填48。

點(diǎn)評(píng)：排列問題不可能解決所有問題，對(duì)于較復(fù)雜的問題都是以排列公式為輔助.

題型三：組合問題

例5．(2009全國卷Ⅰ理)甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有(　 D　 )

(A)150種　 (B)180種　 (C)300種　 (D)345種　　　　

解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法;　　　　　

　　　　　 (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D

(2)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有(　)

A．10種　　　B．20種　　　C．36種 　　　D．52種

[解析]：

(2)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，分情況討論：①1號(hào)盒子中放1個(gè)球，其余3個(gè)放入2號(hào)盒子，有種方法；②1號(hào)盒子中放2個(gè)球，其余2個(gè)放入2號(hào)盒子，有種方法；則不同的放球方法有10種，選A。

點(diǎn)評(píng)：計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問題的基礎(chǔ)，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合

例6．(1)某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有　　　 種；

(2)5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有(　　 )

(A)150種　 　　　　　　　　　　 (B)180種　 　　　　　 (C)200種　　 　　　　 　(D)280種　

解析：(1)可以分情況討論，① 甲去，則乙不去，有=480種選法；②甲不去，乙去，有=480種選法；③甲、乙都不去，有=360種選法；共有1320種不同的選派方案；

(2)人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有＝60種，若是1,1,3，則有＝90種，所以共有150種，選A。

點(diǎn)評(píng)：排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問題，諸如分組問題等；

題型4：排列、組合的綜合問題

例7．平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無三條直線交于同一點(diǎn)(除原10點(diǎn)外)，無兩條直線互相平行。求：(1)這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)(除原10點(diǎn)外)。(2)這些直線交成多少個(gè)三角形.

解法一：(1)由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C₁₀²=45條。

這45條直線除原10點(diǎn)外無三條直線交于同一點(diǎn)，由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn)，共有C₄₅²個(gè)交點(diǎn)。而在原來10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此。所以，在原來點(diǎn)上有10C₉²點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù)；

所以這些直線交成新的點(diǎn)是：C₄₅²－10C₉²=630。

(2)這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如下求：因?yàn)槊總�(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)來自上述630個(gè)點(diǎn)或原來的10個(gè)點(diǎn)。所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這640個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合，即C₆₄₀³=43486080(個(gè)).

解法二：(1)如圖對(duì)給定的10點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，四點(diǎn)連成6條直線，這6條直線交3個(gè)新的點(diǎn)。故原題對(duì)應(yīng)于在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍，即這些直線新交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：3C₁₀⁴=630。

(2)同解法一。

點(diǎn)評(píng)：用排列、組合解決有關(guān)幾何計(jì)算問題，除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對(duì)策之外，還要考慮實(shí)際幾何意義.

例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。

解　 設(shè)傾斜角為θ，由θ為銳角，得tanθ=->0,即a、b異號(hào)。

(1)若c=0，a、b各有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0)，故有3×3-2=7(條)；

(2)若c≠0，a有3種取法，b有3種取法，而同時(shí)c還有4種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有3×3×4=36條，從而符合要求的直線共有7+36=43條；

點(diǎn)評(píng)：本題是1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有0.37。錯(cuò)誤原因沒有對(duì)c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。

題型5：二項(xiàng)式定理

例9．(1)(2009陜西卷文)若,

則的值為　

A. 2　　　　　　　　　　 B.0　　　　　　　　　　　 　 C. 　　　　　　　 　D. 　

答案　 C 　　　

解析　 由題意容易發(fā)現(xiàn)

,則

,　 同理可以得出

,………

亦即前2008項(xiàng)和為0, 則原式== 故選C.

(2)的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是

(A)0　　　(B)2　　　(C)4　　　(D)6

解析：本題主要考查二項(xiàng)式展開通項(xiàng)公式的有關(guān)知識(shí)；

(2)的展開式通項(xiàng)為，因此含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2項(xiàng).選B；

點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則。在求系數(shù)過程中,盡量先化簡(jiǎn)，降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別,盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令.在二項(xiàng)式的展開式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.

例10．(1)(2008江蘇10)

將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

按照以上排列的規(guī)律，第行()從左向右的第3個(gè)數(shù)為　　 　▲ 　　

[解析]本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式．前n－1 行共有正整數(shù)1+2+…+(n－1)個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè)，即為．

[答案]

(2)(2009北京卷理)若為有理數(shù))，則　 　　　 (　　 )

　 A．45　　　　　　 B．55 　　　　　　　C．70　　　　　　　 D．80

答案　　 C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解析　 　本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.

∵

　，

　由已知，得，∴.故選C.

(2)已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－,其中=－1，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是(　 )

(A)－45i　　　　　 (B) 45i　　　　　　 (C) －45　　　　　　 (D)45

(2)第三項(xiàng)的系數(shù)為－，第五項(xiàng)的系數(shù)為，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－可得n＝10，則＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為＝45，選A；

(3)(2009湖南卷理)在的展開式中，的系數(shù)為___7__(用數(shù)

字作答)

答案　　 7　　　

解析　　 由條件易知展開式中項(xiàng)的系數(shù)分別是，即所求系數(shù)是

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式展開式的特殊值法，基礎(chǔ)題；

題型6：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

例11．證明下列不等式：

(1)≥()ⁿ,(a、b∈{x|x是正實(shí)數(shù)},n∈N);

(2)已知a、b為正數(shù)，且+=1，則對(duì)于n∈N有

(a+b)ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹。

證明：(1)令a=x+δ，b=x－δ，則x=；

aⁿ+bⁿ=(x+δ)ⁿ+(x-δ)ⁿ

=xⁿ+C_n¹x^n-1δ+…+C_nⁿδⁿ+xⁿ-C_n¹x^n-1δ+…(-1)ⁿC_nⁿδⁿ

=2(xⁿ+C_n²x^n-2δ²+C_n⁴x^n-4δ⁴+…)

≥2xⁿ

即≥()ⁿ

(2)(a+b)ⁿ=aⁿ+C_n¹a^n-1b+…+C_nⁿbⁿ

(a+b)ⁿ=bⁿ+C_n¹b^n-1a+…+C_nⁿaⁿ

上述兩式相加得：

2(a+b)ⁿ=(aⁿ+bⁿ)+C_n¹(a^n-1b+b^n-1a)+…+C_n^k(a^n-kb^k+b^n-ka^k)+…+C_nⁿ(aⁿ+bⁿ)　 (*)

∵+=1，且a、b為正數(shù)

∴ab=a+b≥2　 ∴ab≥4

又∵　a^n-kb^k+b^n-ka^k≥2=2()ⁿ(k=1,2,…,n-1)

∴2(a+b) ⁿ≥2aⁿ+2bⁿ+C_n¹2()ⁿ+C_n²2()ⁿ+…+C_n^n-12()ⁿ

∴(a+b)ⁿ－aⁿ-bⁿ

≥(C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1)·()ⁿ

≥(2ⁿ－2)·2ⁿ

=2²ⁿ－2ⁿ⁺¹

點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理的展開式，可以證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題。題(1)中的換元法稱之為均值換元(對(duì)稱換元)。這樣消去δ奇數(shù)次項(xiàng)，從而使每一項(xiàng)均大于或等于零。題(2)中，由由稱位置二項(xiàng)式系數(shù)相等，將展開式倒過來寫再與原來的展開式相加，這樣充分利用對(duì)稱性來解題的方法是利用二項(xiàng)式展開式解題的常用方法。

例12．(1)求4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹被20除后的余數(shù)；

(2)7ⁿ+C_n¹7^n-1+C_n²·7^n-2+…+C_n^n-1×7除以9，得余數(shù)是多少？

(3)根據(jù)下列要求的精確度，求1.02⁵的近似值。①精確到0.01；②精確到0.001。

解析：(1)首先考慮4·6ⁿ+5ⁿ⁺¹被4整除的余數(shù)。

∵5ⁿ⁺¹=(4+1)ⁿ⁺¹=4ⁿ⁺¹+C_n+1¹4ⁿ+C_n+1²4^n-1+…+C_n+1ⁿ·4+1，

∴其被4整除的余數(shù)為1，

∴被20整除的余數(shù)可以為1，5，9，13，17，

然后考慮4·6ⁿ⁺¹+5ⁿ⁺¹被5整除的余數(shù)。

∵4·6ⁿ=4·(5+1)ⁿ=4(5ⁿ+C_n¹·5^n-1+C_n²·5^n-2+…+C_n^n-1·5+1)，

∴被5整除的余數(shù)為4，

∴其被20整除的余數(shù)可以為4，9，14，19。

綜上所述，被20整除后的余數(shù)為9。

(2)　 7ⁿ+C_n¹·7^n-1+C_n²·7^n-2+…+C_n^n-1·7

　　 =(7+1)ⁿ－1=8ⁿ－1=(9-1)ⁿ－1

　　 =9ⁿ-C_n¹·9^n-1+C_n²·9^n-2+…+(－1)^n-1C_n^n-1·9+(－1)ⁿC_nⁿ-1

(i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

原式=9ⁿ-C_n¹·9^n-1+C_n²·9^n-2+…+(－1)^n-1C_n^n-1·9－2

∴除以9所得余數(shù)為7。

(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

原式=9ⁿ-C_n¹·9^n-1+C_n²·9^n-2+…+(－1)^n-1C_n^n-1·9

∴除以9所得余數(shù)為0，即被9整除。

(3)(1.02)⁵≈(1+0.02)⁵

　　　　　 =1+c₅¹·0.02+C₅²·0.02²+C₅³·0.02³+C₅⁴0.02⁴+C₅⁵·0.02⁵

∵C₅²×0.02²=0.004,C₅³×0.02³=8×10^-5

∴①當(dāng)精確到0.01時(shí)，只要展開式的前三項(xiàng)和，1+0.10+0.004=1.104，近似值為1.10。

②當(dāng)精確到0.001時(shí)，只要取展開式的前四項(xiàng)和，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408，近似值為1.104。

點(diǎn)評(píng)：(1)用二項(xiàng)式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時(shí)，通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身?xiàng)之和或之差再按二項(xiàng)式定理展開推得所求結(jié)論；

(2)用二項(xiàng)式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應(yīng)該取到展開式的第幾項(xiàng)。

6．二項(xiàng)式的應(yīng)用

(1)求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；

(2)證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式；

(3)證明整除性。①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問題；

(4)近似計(jì)算。當(dāng)|x|充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：

①(1+x)ⁿ≈1+nx；②(1+x)ⁿ≈1+nx+x²；(5)證明不等式。

5．二項(xiàng)式定理

(1)二項(xiàng)式展開公式：(a+b)ⁿ=C_n⁰aⁿ+C_n¹a^n-1b+…+C_n^ka^n-kb^k+…+C_nⁿbⁿ；

(2)通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式展開式中第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是：T_k+1=C_n^ka^n-kb^k；

4．組合

(1)組合的定義，排列與組合的區(qū)別；

(2)組合數(shù)公式：C_n^m==；

(3)組合數(shù)的性質(zhì)

①C_n^m=C_n^n-m；②；③rC_n^r=n·C_n-1^r-1；④C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ；⑤C_n⁰-C_n¹+…+(-1)ⁿC_nⁿ=0，即 C_n⁰+C_n²+C_n⁴+…=C_n¹+C_n³+…=2^n-1；

3．排列

(1)排列定義，排列數(shù)

(2)排列數(shù)公式：系 ==n·(n－1)…(n－m+1)；

(3)全排列列： =n!；

(4)記住下列幾個(gè)階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；

2．兩個(gè)基本原理

(1)分類計(jì)數(shù)原理中的分類；

(2)分步計(jì)數(shù)原理中的分步；

正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。