4.對(duì)解組合問題,應(yīng)注意以下三點(diǎn):
(1)對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算,是解組合題的常用方法;
(2)是用“直接法”還是“間接法”解組合題,其原則是“正難則反”;
(3)設(shè)計(jì)“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。
3.對(duì)于帶限制條件的排列問題,通常從以下三種途徑考慮:
(1)元素分析法:先考慮特殊元素要求,再考慮其他元素;
(2)位置分析法:先考慮特殊位置的要求,再考慮其他位置;
(3)整體排除法:先算出不帶限制條件的排列數(shù),再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。
2.將具體問題抽象為排列問題或組合問題,是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。
解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律
1.分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理使用方法有兩種:①單獨(dú)使用;②聯(lián)合使用。
題型1:計(jì)數(shù)原理
例1.完成下列選擇題與填空題
(1)有三個(gè)不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,則不同的投法有 種.
A.81 B.64 C.24 D.4
(2)四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍,獲得冠軍的可能的種數(shù)是( )
A.81 B.64 C.24 D.4
(3)有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽,
①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽,則有不同的參賽方法有 ;
②每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加,則有不同的參賽方法有 ;
③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽,每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加,則不同的參賽方法有 。
解析:(1)完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行,是選用基本原理的關(guān)鍵。將“投四封信”這件事分四步完成,每投一封信作為一步,每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法,因此:N=3×3×3×3=34=81,故答案選A。
本題也可以這樣分類完成,①四封信投入一個(gè)信箱中,有C31種投法;②四封信投入兩個(gè)信箱中,有C32(C41·A22+C42·C22)種投法;③四封信投入三個(gè)信箱,有兩封信在同一信箱中,有C42·A33種投法、,故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(種)。故選A。
(2)因?qū)W生可同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍,故學(xué)生可重復(fù)排列,將4名學(xué)生看作4個(gè)“店”,3項(xiàng)冠軍看作“客”,每個(gè)“客”都可住進(jìn)4家“店”中的任意一家,即每個(gè)“客”有4種住宿法。由分步計(jì)數(shù)原理得:N=4×4×4=64。
故答案選B。
(3)①學(xué)生可以選擇項(xiàng)目,而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)學(xué)生無條件限制,所以類似(1)可得N=34=81(種);
②競(jìng)賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生,而學(xué)生無選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì),每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生,共有N=43=64(種);
③等價(jià)于從4個(gè)學(xué)生中挑選3個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)賽,每人參加一項(xiàng),故共有C43·A33=24(種)。
例2.(06江蘇卷)今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球,同色球不加以區(qū)分,將這9個(gè)球排成一列有 種不同的方法(用數(shù)字作答).
解析:本題考查排列組合的基本知識(shí),由題意可知,因同色球不加以區(qū)分,實(shí)際上是一個(gè)組合問題,共有。
點(diǎn)評(píng):分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段,也是基礎(chǔ)方法,在高中數(shù)學(xué)中,只有這兩個(gè)原理,尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處,當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時(shí),用分類的方法可以有效的將之化簡(jiǎn),達(dá)到求解的目的.
題型2:排列問題
例3.(1)(2009浙江卷理)在二項(xiàng)式的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 對(duì)于,對(duì)于,則的項(xiàng)的系數(shù)是
[點(diǎn)評(píng)]:此題重點(diǎn)考察二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù),以及組合思想;
[突破]:利用組合思想寫出項(xiàng),從而求出系數(shù);
(2).(2009江西卷理)展開式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為,不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為,則的值可能為
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ,,則可取,選D
點(diǎn)評(píng):合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問題,首先應(yīng)該進(jìn)入排列問題的情景,想清楚我處理時(shí)應(yīng)該如何去做。
例4.(1)用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),則其中數(shù)字1,2相鄰的偶數(shù)有 個(gè)(用數(shù)字作答);
(2)電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告,其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告,要求首尾必須播放公益廣告,則共有 種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示).
解析:(1)可以分情況討論:① 若末位數(shù)字為0,則1,2,為一組,且可以交換位置,3,4,各為1個(gè)數(shù)字,共可以組成個(gè)五位數(shù);② 若末位數(shù)字為2,則1與它相鄰,其余3個(gè)數(shù)字排列,且0不是首位數(shù)字,則有個(gè)五位數(shù);③ 若末位數(shù)字為4,則1,2,為一組,且可以交換位置,3,0,各為1個(gè)數(shù)字,且0不是首位數(shù)字,則有=8個(gè)五位數(shù),所以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè)。
(2)分二步:首尾必須播放公益廣告的有A22種;中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種,從而應(yīng)當(dāng)填 A22·A44=48. 從而應(yīng)填48。
點(diǎn)評(píng):排列問題不可能解決所有問題,對(duì)于較復(fù)雜的問題都是以排列公式為輔助.
題型三:組合問題
例5.(2009全國卷Ⅰ理)甲組有5名男同學(xué),3名女同學(xué);乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué),則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有( D )
(A)150種 (B)180種 (C)300種 (D)345種
解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法;
(2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D
(2)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有( )
A.10種 B.20種 C.36種 D.52種
[解析]:
(2)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),分情況討論:①1號(hào)盒子中放1個(gè)球,其余3個(gè)放入2號(hào)盒子,有種方法;②1號(hào)盒子中放2個(gè)球,其余2個(gè)放入2號(hào)盒子,有種方法;則不同的放球方法有10種,選A。
點(diǎn)評(píng):計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問題的基礎(chǔ),應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合
例6.(1)某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,則不同的選派方案共有 種;
(2)5名志愿者分到3所學(xué)校支教,每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者,則不同的分派方法共有( )
(A)150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種
解析:(1)可以分情況討論,① 甲去,則乙不去,有=480種選法;②甲不去,乙去,有=480種選法;③甲、乙都不去,有=360種選法;共有1320種不同的選派方案;
(2)人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式,若是1,2,2,則有=60種,若是1,1,3,則有=90種,所以共有150種,選A。
點(diǎn)評(píng):排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問題,諸如分組問題等;
題型4:排列、組合的綜合問題
例7.平面上給定10個(gè)點(diǎn),任意三點(diǎn)不共線,由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中,無三條直線交于同一點(diǎn)(除原10點(diǎn)外),無兩條直線互相平行。求:(1)這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)(除原10點(diǎn)外)。(2)這些直線交成多少個(gè)三角形.
解法一:(1)由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=45條。
這45條直線除原10點(diǎn)外無三條直線交于同一點(diǎn),由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn),共有C452個(gè)交點(diǎn)。而在原來10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此。所以,在原來點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù);
所以這些直線交成新的點(diǎn)是:C452-10C92=630。
(2)這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如下求:因?yàn)槊總(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn),這三個(gè)點(diǎn)來自上述630個(gè)點(diǎn)或原來的10個(gè)點(diǎn)。所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這640個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合,即C6403=43486080(個(gè)).
解法二:(1)如圖對(duì)給定的10點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn),四點(diǎn)連成6條直線,這6條直線交3個(gè)新的點(diǎn)。故原題對(duì)應(yīng)于在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍,即這些直線新交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是:3C104=630。
(2)同解法一。
點(diǎn)評(píng):用排列、組合解決有關(guān)幾何計(jì)算問題,除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對(duì)策之外,還要考慮實(shí)際幾何意義.
例8.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個(gè)不同的元素,并且該直線的傾斜角為銳角,求符合這些條件的直線的條數(shù)。
解 設(shè)傾斜角為θ,由θ為銳角,得tanθ=->0,即a、b異號(hào)。
(1)若c=0,a、b各有3種取法,排除2個(gè)重復(fù)(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0),故有3×3-2=7(條);
(2)若c≠0,a有3種取法,b有3種取法,而同時(shí)c還有4種取法,且其中任兩條直線均不相同,故這樣的直線有3×3×4=36條,從而符合要求的直線共有7+36=43條;
點(diǎn)評(píng):本題是1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題,據(jù)抽樣分析正確率只有0.37。錯(cuò)誤原因沒有對(duì)c=0與c≠0正確分類;沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。
題型5:二項(xiàng)式定理
例9.(1)(2009陜西卷文)若,
則的值為
A. 2 B.0 C. D.
答案 C
解析 由題意容易發(fā)現(xiàn)
,則
, 同理可以得出
,………
亦即前2008項(xiàng)和為0, 則原式== 故選C.
(2)的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解析:本題主要考查二項(xiàng)式展開通項(xiàng)公式的有關(guān)知識(shí);
(2)的展開式通項(xiàng)為,因此含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2項(xiàng).選B;
點(diǎn)評(píng):多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則。在求系數(shù)過程中,盡量先化簡(jiǎn),降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別,盡量化成加減運(yùn)算,在運(yùn)算過程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用,例如求常數(shù)項(xiàng),可令.在二項(xiàng)式的展開式中,要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.
例10.(1)(2008江蘇10)
將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:
|
按照以上排列的規(guī)律,第行()從左向右的第3個(gè)數(shù)為 ▲
[解析]本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式.前n-1 行共有正整數(shù)1+2+…+(n-1)個(gè),即個(gè),因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè),即為.
[答案]
(2)(2009北京卷理)若為有理數(shù)),則 ( )
A.45 B.55 C.70 D.80
答案 C
解析 本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.
∵
,
由已知,得,∴.故選C.
(2)已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為-,其中=-1,則展開式中常數(shù)項(xiàng)是( )
(A)-45i (B) 45i (C) -45 (D)45
(2)第三項(xiàng)的系數(shù)為-,第五項(xiàng)的系數(shù)為,由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為-可得n=10,則=,令40-5r=0,解得r=8,故所求的常數(shù)項(xiàng)為=45,選A;
(3)(2009湖南卷理)在的展開式中,的系數(shù)為___7__(用數(shù)
字作答)
答案 7
解析 由條件易知展開式中項(xiàng)的系數(shù)分別是,即所求系數(shù)是
點(diǎn)評(píng):本題考查二項(xiàng)式展開式的特殊值法,基礎(chǔ)題;
題型6:二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
例11.證明下列不等式:
(1)≥()n,(a、b∈{x|x是正實(shí)數(shù)},n∈N);
(2)已知a、b為正數(shù),且+=1,則對(duì)于n∈N有
(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1。
證明:(1)令a=x+δ,b=x-δ,則x=;
an+bn=(x+δ)n+(x-δ)n
=xn+Cn1xn-1δ+…+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+…(-1)nCnnδn
=2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+…)
≥2xn
即≥()n
(2)(a+b)n=an+Cn1an-1b+…+Cnnbn
(a+b)n=bn+Cn1bn-1a+…+Cnnan
上述兩式相加得:
2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+…+Cnk(an-kbk+bn-kak)+…+Cnn(an+bn) (*)
∵+=1,且a、b為正數(shù)
∴ab=a+b≥2 ∴ab≥4
又∵ an-kbk+bn-kak≥2=2()n(k=1,2,…,n-1)
∴2(a+b) n≥2an+2bn+Cn12()n+Cn22()n+…+Cnn-12()n
∴(a+b)n-an-bn
≥(Cn1+Cn2+…+Cnn-1)·()n
≥(2n-2)·2n
=22n-2n+1
點(diǎn)評(píng):利用二項(xiàng)式定理的展開式,可以證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題。題(1)中的換元法稱之為均值換元(對(duì)稱換元)。這樣消去δ奇數(shù)次項(xiàng),從而使每一項(xiàng)均大于或等于零。題(2)中,由由稱位置二項(xiàng)式系數(shù)相等,將展開式倒過來寫再與原來的展開式相加,這樣充分利用對(duì)稱性來解題的方法是利用二項(xiàng)式展開式解題的常用方法。
例12.(1)求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù);
(2)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9,得余數(shù)是多少?
(3)根據(jù)下列要求的精確度,求1.025的近似值。①精確到0.01;②精確到0.001。
解析:(1)首先考慮4·6n+5n+1被4整除的余數(shù)。
∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n·4+1,
∴其被4整除的余數(shù)為1,
∴被20整除的余數(shù)可以為1,5,9,13,17,
然后考慮4·6n+1+5n+1被5整除的余數(shù)。
∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+…+Cnn-1·5+1),
∴被5整除的余數(shù)為4,
∴其被20整除的余數(shù)可以為4,9,14,19。
綜上所述,被20整除后的余數(shù)為9。
(2) 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7
=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1
=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(-1)n-1Cnn-1·9+(-1)nCnn-1
(i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(-1)n-1Cnn-1·9-2
∴除以9所得余數(shù)為7。
(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(-1)n-1Cnn-1·9
∴除以9所得余數(shù)為0,即被9整除。
(3)(1.02)5≈(1+0.02)5
=1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025
∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5
∴①當(dāng)精確到0.01時(shí),只要展開式的前三項(xiàng)和,1+0.10+0.004=1.104,近似值為1.10。
②當(dāng)精確到0.001時(shí),只要取展開式的前四項(xiàng)和,1+0.10+0.004+0.0008=1.10408,近似值為1.104。
點(diǎn)評(píng):(1)用二項(xiàng)式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時(shí),通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身?xiàng)之和或之差再按二項(xiàng)式定理展開推得所求結(jié)論;
(2)用二項(xiàng)式定理來求近似值,可以根據(jù)不同精確度來確定應(yīng)該取到展開式的第幾項(xiàng)。
6.二項(xiàng)式的應(yīng)用
(1)求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和;
(2)證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式;
(3)證明整除性。①求數(shù)的末位;②數(shù)的整除性及求系數(shù);③簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問題;
(4)近似計(jì)算。當(dāng)|x|充分小時(shí),我們常用下列公式估計(jì)近似值:
①(1+x)n≈1+nx;②(1+x)n≈1+nx+x2;(5)證明不等式。
5.二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式展開公式:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn;
(2)通項(xiàng)公式:二項(xiàng)式展開式中第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是:Tk+1=Cnkan-kbk;
4.組合
(1)組合的定義,排列與組合的區(qū)別;
(2)組合數(shù)公式:Cnm==;
(3)組合數(shù)的性質(zhì)
①Cnm=Cnn-m;②;③rCnr=n·Cn-1r-1;④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n;⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0,即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1;
3.排列
(1)排列定義,排列數(shù)
(2)排列數(shù)公式:系 ==n·(n-1)…(n-m+1);
(3)全排列列: =n!;
(4)記住下列幾個(gè)階乘數(shù):1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720;
2.兩個(gè)基本原理
(1)分類計(jì)數(shù)原理中的分類;
(2)分步計(jì)數(shù)原理中的分步;
正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。
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