7.若關(guān)于x的方程|x－6x+8|＝a恰有兩個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是____________。

6. 對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p，使不等式x+px〉4x+p－3成立的x的取值范圍是________。

5.等差數(shù)列{a}中，a＝84，前n項和為S,已知S>0，S<0，則當(dāng)n＝______時，S最大。

4.已知{a}是等比數(shù)列，且a+a+a＝18，a+a+a＝－9，S＝a+a+…+a，那么S等于_____。

　 A.　 8　　　 B.　 16　　　 C.　 32　　　 D.　 48

3.　　　　 已知函數(shù)f(x)＝log(x－4x+8)， x∈[0,2]的最大值為－2，則a＝_____。

A.　 　　　B.　 　　　C.　 2　　 D.　 4

2.　　　　 已知函數(shù)f(x)＝|2－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，則_____。

A. a<0,b<0,c>0　　 B. a<0,b>0,c>0　　 C. 2<2　　 D. 2+2<2

1.　　　　 方程sin2x＝sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)解的個數(shù)是_____。

A.　 1　　　 B.　 2　　 C.　 3　　 　D.　 4

8. 建造一個容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價為___________。

[簡解]1小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個數(shù)(特值法或代入法)，選C；

2小題：函數(shù)f(x)的對稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；

3小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；

4小題：設(shè)tg＝x (x>0)，則+＝，解出x＝2，再用萬能公式，選A；

5小題：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)S＝S＝m，＝x，則(,p)、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點斜率相等解得x＝0，則答案：0；

6小題：設(shè)cosx＝t，t∈[-1,1]，則a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；

7小題：設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h＝2，答案：24；

8小題：設(shè)長x，則寬，造價y＝4×120+4x×80+×80≥1760，答案：1760。

Ⅱ、示范性題組：

例1. 設(shè)a>0，a≠1，試求方程log(x－ak)＝log(x－a)有實數(shù)解的k的范圍。(89年全國高考)

[分析]由換底公式進行換底后出現(xiàn)同底，再進行等價轉(zhuǎn)化為方程組，分離參數(shù)后分析式子特點，從而選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解。

[解] 將原方程化為：log(x－ak)＝log，　 等價于 　(a>0,a≠1)

∴ k＝－　 ( ||>1 ),　

設(shè)＝cscθ，　 θ∈(－,0)∪(0, )，則 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|

當(dāng)θ∈(－,0)時，f(θ)＝cscθ+ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；

當(dāng)θ∈(0, )時，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(0,1)，故0<k<1；

綜上所述，k的取值范圍是：k<－1或0<k<1。

y　　　　 C 　C　　　　 　 　　　　　　　 -ak 　　　　 -a　　　　　 a　　　　　 x

[注] 求參數(shù)的范圍，分離參數(shù)后變成函數(shù)值域的問題，觀察所求函數(shù)式，引入新的變量，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，在進行三角換元時，要注意新的變量的范圍。一般地，此種思路可以解決有關(guān)不等式、方程、最大值和最小值、參數(shù)范圍之類的問題。本題還用到了分離參數(shù)法、三角換元法、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法。

另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法”： 將原方程化為：log(x－ak)＝log，等價于x－ak＝ (x－ak>0)，設(shè)曲線C：y＝x－ak，曲線C：y＝ (y>0)，如圖所示。

由圖可知，當(dāng)－ak>a或－a<－ak<0時曲線C與C有交點，即方程有實解。所以k的取值范圍是：k<－1或0<k<1。

還有一種思路是直接解出方程的根，然后對方程的根進行討論，具體過程是：原方程等價變形為后，解得：，所以>ak，即－k>0，通分得<0，解得k<－1或0<k<1。所以k的取值范圍是：k<－1或0<k<1。

例2. 設(shè)不等式2x－1>m(x－1)對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。

[分析] 此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的問題。對此的研究，設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒為負(fù)值時參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。

[解]問題可變成關(guān)于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1),

則

解得x∈(,)

[注] 本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。本題有別于關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]時求m的值、關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立時求m的范圍。

一般地，在一個含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化�；蛘吆�有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。

例3. 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項的和為S，已知a＝12，S>0，S<0 。

①.求公差d的取值范圍； ②.指出S、S、…、S中哪一個值最大，并說明理由。(92年全國高考)

[分析] ①問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；②問利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時S取最大值的函數(shù)最值問題。

[解]① 由a＝a+2d＝12,得到a＝12－2d，所以

S＝12a+66d＝12(12－2d)+66d＝144+42d>0，

S＝13a+78d＝13(12－2d)+78d＝156+52d<0。

　解得：－<d<－3。

② S＝na+n(n1－1)d＝n(12－2d)+n(n－1)d

＝[n－(5－)]－[(5－)]

因為d<0，故[n－(5－)]最小時，S最大。由－<d<－3得6<(5－)<6.5，故正整數(shù)n＝6時[n－(5－)]最小，所以S最大。

[注] 數(shù)列的通項公式及前n項和公式實質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進行算式化，從而簡潔明快。由次可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活地運用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨創(chuàng)性。

本題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a+a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。

例4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設(shè)∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。

[分析] 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。

P 　　　　 M A　　　　 H　　　 B 　　 D　　 C

[解] 在PB上任取一點M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，

設(shè)MH＝x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。

∴MD＝x+[(2r－x)sinθ]＝(sin+1)x－4rsinθx+4rsinθ

＝(sinθ+1)[x－]+

即當(dāng)x＝時，MD取最小值為兩異面直線的距離。

[注] 本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進行解答。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。

例5. 已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tgA·tgC＝2+，又知頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。

[分析]已知了一個積式，考慮能否由其它已知得到一個和式，再用方程思想求解。

[解] 由A、B、C成等差數(shù)列，可得B＝60°；

由△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC，得

tgA+tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝ (1+)

設(shè)tgA、tgC是方程x－(+3)x+2+＝0的兩根，解得x＝1，x＝2+

設(shè)A<C，則tgA＝1，tgC＝2+，　 ∴A＝，C＝

由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4+4。

[注]本題的解答關(guān)鍵是利用“△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC”這一條性質(zhì)得到tgA+tgC，從而設(shè)立方程求出tgA和tgC的值，使問題得到解決。

例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求證：x、y、z成等差數(shù)列。

[分析] 觀察題設(shè)，發(fā)現(xiàn)正好是判別式b－4ac＝0的形式，因此聯(lián)想到構(gòu)造一個一元二次方程進行求解。

[證明] 當(dāng)x＝y(tǒng)時，可得x＝z，　 ∴x、y、z成等差數(shù)列；

當(dāng)x≠y時，設(shè)方程(x－y)t－(z－x)t+(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。

∴t·t＝＝1　 ，　 即2y＝x+z ，　　 ∴x、y、z成等差數(shù)列

[注]一般地，題設(shè)條件中如果已經(jīng)具備或經(jīng)過變形整理后具備了“x+x＝a、x·x＝b”的形式，則可以利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程；如果具備b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可以利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程。這種方法使得非方程問題用方程思想來解決，體現(xiàn)了一定的技巧性，也是解題基本方法中的一種“構(gòu)造法”。

例7. △ABC中，求證：cosA·cosB·cosC≤ 。

[分析]考慮首先使用三角公式進行變形，結(jié)合三角形中有關(guān)的性質(zhì)和定理，主要是運用“三角形的內(nèi)角和為180°”。變形后再通過觀察式子的特點而選擇和發(fā)現(xiàn)最合適的方法解決。

[證明] 設(shè)k＝cosA·cosB·cosC＝[cos(A+B)+cos(A－B)]·cosC＝[－cosC+cos(A－B)]cosC

整理得：cosC－cos(A－B)·cosC+2k＝0，即看作關(guān)于cosC的一元二次方程。

∴　 △＝cos(A－B)－8k≥0　 即 8k≤cos(A－B)≤1　

∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤

[注]本題原本是三角問題，引入?yún)��?shù)后，通過三角變形，發(fā)現(xiàn)了其等式具有“二次”特點，于是聯(lián)想了一元二次方程，將問題變成代數(shù)中的方程有實解的問題，這既是“方程思想”，也體現(xiàn)了“判別式法”、“參數(shù)法”。

此題的另外一種思路是使用“放縮法”,在放縮過程中也體現(xiàn)了“配方法”，具體解答過程是：cosA·cosB·cosC＝[cos(A+B)+cos(A－B)]·cosC　 ＝－cosC+cos(A－B)·cosC＝－ [cosC－]+cos(A－B)≤cos(A－B) ≤。

例8. 設(shè)f(x)＝lg，如果當(dāng)x∈(-∞,1]時f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍。

[分析]當(dāng)x∈(-∞,1]時f(x)＝lg有意義的函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式問題。

[解] 由題設(shè)可知，不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，

即：()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。

設(shè)t＝(),　 則t≥，　 又設(shè)g(t)＝t+t+a，其對稱軸為t＝－

∴ t+t+a＝0在[,+∞)上無實根，　 即 g()＝()++a>0，得a>－

所以a的取值范圍是a>－。

[注]對于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進行解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進行相互轉(zhuǎn)化。

在解決不等式()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的問題時，也可使用“分離參數(shù)法”： 設(shè)t＝(),　 t≥，則有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范圍是a>－。其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想”。

Ⅲ、鞏固性題組：

7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為___________。

6.關(guān)于x的方程sinx+cosx+a＝0有實根，則實數(shù)a的取值范圍是__________。