3.　 方程2＝x+2x+1的實數(shù)解的個數(shù)是_____。

A.　 1　　　 B.　 2　　 C.　 3　　 D.以上都不對

2.　 已知集合P＝{(x,y)|y＝}、Q＝{(x,y)|y＝x+b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。

A. |b|<3　　 B.　 |b|≤3　　 C. －3≤b≤3　　 D.　 －3<b<3

1.　 已知5x+12y＝60，則的最小值是_____。

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 1

10.　　　 滿足方程|z+3－i|＝的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_____。

[簡解]1小題：將不等式解集用數(shù)軸表示，可以看出，甲＝>乙，選A;

2小題：由已知畫出對數(shù)曲線，選B；

3小題：設(shè)sinx＝t后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；

4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱畫出圖像，選B；

5小題：將幾個集合的幾何意義用圖形表示出來，選B；

6小題：利用單位圓確定符號及象限；選B；

7小題：利用單位圓，選A；

8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B；

9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動點與原點連線的斜率范圍問題；選D；

10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點之間的距離公式求解,答案－+i。

[注] 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關(guān)的問題，即借助數(shù)軸(①題)、圖像(②、③、④、⑤題)、單位圓(⑥、⑦題)、復(fù)平面(⑧、⑩題)、方程曲線(⑨題)。

y 　 4　　　 　y=1-m 　 1 　 O　　 2　 3　 　　x

Ⅱ、示范性題組：

例1. 若方程lg(－x+3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。

[分析]將對數(shù)方程進行等價變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個范圍內(nèi)有實解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進行解決。

[解] 原方程變形為 　　

即：

設(shè)曲線y＝(x－2) , x∈(0,3)和直線y＝1－m，圖像如圖所示。由圖可知：

① 當1－m＝0時，有唯一解，m＝1;　　　

②當1≤1－m<4時，有唯一解，即－3<m≤0,

∴　 m＝1或－3<m≤0

此題也可設(shè)曲線y＝－(x－2)+1 , x∈(0,3)和直線y＝m后畫出圖像求解。

[注] 一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進行討論時，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡單明了。此題也可用代數(shù)方法來討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來求(也注意結(jié)合圖像分析只一個x值)。

y　　 A 　　　 　　　D 　　　 O　 B 　　　　x 　　　　　 　　　　　 C

例2. 設(shè)|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值。

[分析] 利用復(fù)數(shù)模、四則運算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問題用幾何圖形幫助求解。

[解] 如圖，設(shè)z＝、z＝后，則＝、＝如圖所示。

由圖可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：

cos∠AOD＝＝

∴ ＝(±i)＝2±i

y　　 A 　　　　　 D 　　　 O　 　　　　　x

[另解]設(shè)z＝、＝如圖所示。則||＝，且

cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±，

所以＝(±i)＝2±i，即＝2±i。

[注]本題運用“數(shù)形結(jié)合法”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運算的幾何意義等都表達得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動活潑。 一般地，復(fù)數(shù)問題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問題變成幾何問題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解。

本題設(shè)三角形式后轉(zhuǎn)化為三角問題的求解過程是：設(shè)z＝5(cosθ+isinθ)，z＝+isinθ)，則|z－|＝|(5cosθ－2cosθ)+(5sinθ+2sinθ)i|＝

＝，所以cos(θ+θ)＝,sin(θ+θ)＝±，

＝＝[cos(θ+θ)+isin(θ+θ)]＝(±i)＝2±i。

本題還可以直接利用復(fù)數(shù)性質(zhì)求解，其過程是：由|z－|＝得：

(z－)(－z)＝z+z－zz－＝25+4－zz－＝13,

所以zz+＝16,再同除以z得+＝4，設(shè)＝z，解得z＝2±i。

幾種解法，各有特點，由于各人的立足點與思維方式不同，所以選擇的方法也有別。一般地，復(fù)數(shù)問題可以應(yīng)用于求解的幾種方法是：直接運用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為三角問題求解；設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解；利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問題求解。

例3. 直線L的方程為：x＝－　 (p>0),橢圓中心D(2+,0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？

[分析] 由拋物線定義，可將問題轉(zhuǎn)化成：p為何值時，以A為焦點、L為準線的拋物線與橢圓有四個交點，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題(研究方程組解的情況)。

[解] 由已知得：a＝2，b＝1, A(,0)，設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：

，消y得：x－(4－7p)x+(2p+)＝0

所以△＝16－64p+48p>0,即6p－8p+2>0，解得：p<或p>1。

結(jié)合范圍(,4+)內(nèi)兩根，設(shè)f(x)＝x－(4－7p)x+(2p+)，

所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>－4+3。

結(jié)合以上，所以－4+3<p<。

[注] 本題利用方程的曲線將曲線有交點的幾何問題轉(zhuǎn)化為方程有實解的代數(shù)問題。一般地，當給出方程的解的情況求參數(shù)的范圍時可以考慮應(yīng)用了“判別式法”，其中特別要注意解的范圍。另外，“定義法”、“數(shù)形結(jié)合法”、“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”等知識都在本題進行了綜合運用。

例4. 設(shè)a、b是兩個實數(shù)，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na+b} (n∈Z)，B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m+15}　 (m∈Z)，C＝{(x,y)|x+y≤144}，討論是否，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C同時成立。(85年高考)

[分析]集合A、B都是不連續(xù)的點集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na+b＝3n+15(n∈Z)有解(A∩B時x＝n＝m)。再抓住主參數(shù)a、b，則此問題的幾何意義是：動點(a,b)在直線L：nx+y＝3n+15上，且直線與圓x+y＝144有公共點，但原點到直線L的距離≥12。

[解] 由A∩B≠φ得：na+b＝3n+15 ;

設(shè)動點(a,b)在直線L：nx+y＝3n+15上，且直線與圓x+y＝144有公共點，

所以圓心到直線距離d＝＝3(+)≥12

∵ n為整數(shù)　 ∴ 上式不能取等號，故a、b不存在。

[注] 集合轉(zhuǎn)化為點集(即曲線)，而用幾何方法進行研究。此題也屬探索性問題用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對有公共點問題的恰當處理方法。

本題直接運用代數(shù)方法進行解答的思路是：

由A∩B≠φ得：na+b＝3n+15 ,即b＝3n+15－an　 (①式)；

由(a,b)∈C得，a+b≤144 (②式)；

把①式代入②式，得關(guān)于a的不等式：

(1+n)a－2n(3n+15)a+(3n+15)－144≤0　 (③式),

它的判別式△＝4n(3n+15)－4(1+n)[(3n+15)－144]＝－36(n－3)

因為n是整數(shù)，所以n－3≠0,因而△<0，又因為1+n>0,故③式不可能有實數(shù)解。

所以不存在a、b，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C同時成立

Ⅲ、鞏固性題組：

9. 如果實數(shù)x、y滿足等式(x－2)+y＝3，那么的最大值是_____。　 (90年全國理)

A. 　　　　B. 　　　C.　 　　　　D.

8. 若復(fù)數(shù)z的輻角為，實部為－2，則z＝_____。

A. －2－2i　 B. －2+2i　　 C. －2+2i　　 D. －2－2i

7. 已知集合E＝{θ|cosθ<sinθ，0≤θ≤2π}，F(xiàn)＝{θ|tgθ<sinθ}，那么E∩F的區(qū)間是_____。(93年全國文理)

A. (,π)　　 B. (,)　 C. (π, )　 D. (,)　　　

6. 如果θ是第二象限的角，且滿足cos－sin＝,那么是_____。

A.第一象限角　　 B.第三象限角　　 C.可能第一象限角，也可能第三象限角　　 D.第二象限角

5. 設(shè)全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x+1}，那么等于_____�！� (90年全國)

A.　 φ　　　　　 B. {(2,3)}　　 　C. (2,3)　　　 D. {(x,y)|y＝x+1　

4. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)

A.增函數(shù)且最小值為－5　　 　　　　　　B.增函數(shù)且最大值為－5

C.減函數(shù)且最小值為－5　　　　　　　　 D.減函數(shù)且最大值為－5