423.　 兩面都是凸形的鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為10cm和17cm，兩球心間的距離為21cm，求此鏡面的表面積和體積.

解析：軸截面如圖，設O₂C＝x，則CO₁＝21-x,∵AB⊥O₁O₂　 ∴AO₂²-O₂C²＝AO₁²-CO₁²，即10²-x²＝17²-(21-x)²，解得x＝6,CO₁＝15,又設左邊球缺的高為h₁,右邊的球缺高為h₂，則h₁＝17-15＝2,h₂＝10-6＝4,∴S_表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)²,V＝π［2²(3·10-2)+4²(3·17-4)］＝288π(cm³).

422. 一個圓在平面上的射影圖形是(　　 )

A.圓　　　　　　　　　　　　 B.橢圓

C.線段　　　　　　　　　　　 D.圓或橢圓或線段

解析：D

421.　 地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，它們的經(jīng)度差為，求球面上A、B兩點間球面距離.

解析：本題關鍵是求出∠AOB的大小，(如圖1)現(xiàn)在我們將這個球的截面問題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的長方體問題.如圖2，以O₁O，O₁A，O₁B為三條相互垂直的棱，可構造一個長方體，問題轉(zhuǎn)化為長方體截面ABO內(nèi)求∠BOA的問題.

解：　 如圖2，∵∠O₁OA＝＝∠O₁OB，OA＝OB＝R，∴OO₁＝O₁A＝O₁B＝R　 ∴AB²＝O₁A²+O₁B²＝R，　 ∴ΔAOB為等邊Δ，　 ∴∠AOB＝，A、B間的球面距離為R.

420.　 在桌面上有三個球兩兩相切，且半徑都為1，在桌面與三球間放置一個小球，使它與三個球相切.求此小球半徑.

解析： 如圖，球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r的小球，過O作O₁O₂O₃平面的垂線，垂足為H，它一定是ΔO₁O₂O₃的中心，連接O₁H，O₁O，在RtΔO₁OH中，O₁H＝，OH＝1-r,OO₁＝1+r,∴OO₁²＝O₁H²+OH²，即(1+r)²＝()²+(1-r)²，解得r＝.

419. 已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個球的半徑是(　　 )

A.4　　　　　　 B.3　　　　　　 C.2　　　　　　 D.5

解析： 如圖，設球的半徑是r，則πBD²＝5π，πAC²＝8π，

∴BD²＝5，AC²＝8.又AB＝1，設OA＝x.

∴x²+8＝r²,(x+1)²+5＝r².

解之，得r＝3

故選B.

418.　 已知四點，無三點共線，則可以確定(　　 )

A.1個平面　　　　　　　 B.4個平面

C.1個或4個平面　　　　 D.無法確定

解析： 因為無三點共線，所以任意三個點都可以確定平面α，若第四個點也在α內(nèi)，四個點確定一個平面，當?shù)谒膫�點在α外，由公理3知可確定4個平面.故選C.

417.　 下列命題正確的是(　　 )

A.經(jīng)過兩條直線有且只有一個平面

B.經(jīng)過一條直線和一個點有且只有一個平面

C.如果平面α與β有三個公共點，則兩個平面一定是重合平面

D.兩個平面α、β有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線

解析：根據(jù)公理2、公理3知選D.

416.　 空間可以確定一個平面的條件是(　　 )

A.兩條直線　　　　　　　 B.一點和一直線

C.一個三角形　　　　　　 D.三個點

解析： 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個平面，兩條直線還有位置關系異面.故排除A，由推論1知點必在線外才合適，排除B.由公理3知不共線三點可確定一個平面，D中三個點不一定不共線，排除D.公理3結(jié)合公理1，知選C.

415.過已知直線外一點與這條直線上的三點分別畫三條直線，證明：這三條直線在同一平面內(nèi).

解答：已知：Aa，如圖，B、C、D∈a，證明：AB、AC、AD共面.

證明：∵Aa，∴A，a確定平面α，∵B、C、D∈a，aα.

∴B、C、D∈α

又A∈α.

∴AB、AC、ADα.

即AB、AC、AD共面.

414.一條直線過平面內(nèi)一點與平面外一點，它和這個平面有幾個公共點?為什么?

解析：只有一個，假設有兩個公共點，由公理1知該直線上所有點都在這個平面內(nèi)，這和直線過平面外一點矛盾.