0  446473  446481  446487  446491  446497  446499  446503  446509  446511  446517  446523  446527  446529  446533  446539  446541  446547  446551  446553  446557  446559  446563  446565  446567  446568  446569  446571  446572  446573  446575  446577  446581  446583  446587  446589  446593  446599  446601  446607  446611  446613  446617  446623  446629  446631  446637  446641  446643  446649  446653  446659  446667  447090 

92. 已知:平面α∥平面β,線段AB分別交αβ于點M、N;線段AD分別交α、β于點C、D;線段BF分別交αβ于點F、E,且AM=m,BN=n,MN=p,△FMC面積=(m+p)(n+p),求:END的面積.

解析:如圖,面AND分別交α、βMC,ND,因為αβ,

MCND,同理MFNE,得

FMC=∠END

NDMC=(m+p):mENFMn∶(n+p)

SENDSFMC

SEND×SFMC

·(m+p)(n+p)=(m+p)2

∴△END的面積為(m+p)2平方單位.

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91. 如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,EAB1上,FBD上,且B1EBF.

求證:EF∥平面BB1C1C.

證法一:連AF延長交BCM,連結B1M.

ADBC

∴△AFD∽△MFB

又∵BDB1AB1EBF

DFAE

EFB1MB1M平面BB1C1C

EF∥平面BB1C1C.

證法二:作FHADABH,連結HE

ADBC

FHBC,BCBB1C1C

FH∥平面BB1C1C

FHAD可得

BFB1E,BDAB1

EHB1BB1B平面BB1C1C

EH∥平面BB1C1C,

EHFHH

∴平面FHE∥平面BB1C1C

EF平面FHE

EF∥平面BB1C1C

說明:證法一用了證線面平行,先證線線平行.證法二則是證線面平行,先證面面平行,然后說明直線在其中一個平面內.

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90. 三個平面兩兩相交得三條直線,求證:這三條直線相交于同一點或兩兩平行.

已知:平面α∩平面βa,平面β∩平面γb,平面γ∩平面αc.

求證:a、b、c相交于同一點,或abc.

證明:∵αβaβγb

a、bβ

ab相交或ab.

(1)a、b相交時,不妨設abP,即PaPb

a、bβaα

Pβ,Pα,故Pαβ的公共點

又∵αγc

由公理2知Pc

a、bc都經(jīng)過點P,即a、bc三線共點.

(2)當ab

αγcaα,aγ

acab

abc

a、bc兩兩平行.

由此可知a、b、c相交于一點或兩兩平行.

說明:此結論常常作為定理使用,在判斷問題中經(jīng)常被使用.

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89. 已知平面、、、.其中=l=a,=,a,=b,=,b

上述條件能否保證有?若能,給出證明,若不能給出一個反例,并添加適當?shù)臈l件,保證有

不足以保證

如右圖.

如果添加條件ab是相交直線,那么

證明如下:

aa

bb

a,b內兩條相交直線,

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88. 已知:直線a∥平面.求證:經(jīng)過a和平面平行的平面有且僅有一個.

證:過a作平面與交于,在內作直線相交,在a上任取一點P,在P確定的平面內,過Pbb外,內,

b

a

a,b確定的平面a且平行于

∵ 過a,b的平面只有一個,

∴ 過a平行于平面的平面也只有一個

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87. 已知正三棱柱ABCA1B1C1,底面邊長為8,對角線B1C=10,DAC的中點.

(1) 求證AB1∥平面C1BD;

(2) 求直線AB1到平面C1BD的距離.

證明:(1) 設B1CBC1=O

DO,則OB1C的中點.

在△ACB1中,DAC中點,OB1C中點.

DOAB1

DO平面C1BD,AB1平面C1BD

AB1∥平面C1BD

解:(2) 由于三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱,DAC中點,

BDAC,且BDCC1,

BD⊥平面AC1,

平面C1BD⊥平面AC1C1D是交線.

在平面AC1內作AHC1D,垂足是H,

AH⊥平面C1BD,

AB1∥平面C1BD,故AH的長是直線AB1到平面C1BD的距離.

BC=8,B1C=10,得CC1=6,

在Rt△C1DC中,DC=4,CC1=6,

在Rt△DAH中,∠ADH=∠C1DC

AB1到平面C1BD的距離是

評述:證明線面平行的關鍵是在平面內找出與已知直線平行的直線,如本題的DO.本題的第(2)問,實質上進行了“平移變換”,利用AB1∥平面C1BD,把求直線到平面的距離變換為求點A到平面的距離.

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86. 已知:正方體ABCDA1B1C1D1棱長為a

(1) 求證:平面A1BD∥平面B1D1C

(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距離.

證明:(1) 在正方體ABCDA1B1C1D1中,

BB1平行且等于DD1

∴ 四邊形BB1D1D是平行四邊形,

BDB1D1,

BD∥平面B1D1C

同理 A1B∥平面B1D1C,

A1BBD=B,

∴ 平面A1BD∥平面B1D1C

解:(2) 連AC1交平面A1BDM,交平面B1D1CN

ACAC1在平面AC上的射影,又ACBD

AC1BD,

同理可證,AC1A1B

AC1⊥平面A1BD,即MN⊥平面A1BD,

同理可證MN⊥平面B1D1C

MN的長是平面A1BD到平面B1D1C的距離,

AC、BD交于E,則平面A1BD與平面A1C交于直線A1E

M∈平面A1BD,MAC1平面A1C,

MA1E

同理NCF

在矩形AA1C1C中,見圖9-21(2),由平面幾何知識得

評述:當空間圖形較為復雜時,可以分解圖形,把其中的平面圖形折出分析,利于清楚地觀察出平面上各種線面的位置關系.證明面面平行,主要是在其中一個平面內找出兩條與另一個平面平行的相交直線,或者使用反證法.

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85. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BCM、N分別是A1B1AB的中點,P點在線段B1C上,則NP與平面AMC1的位置關系是      (   )

(A) 垂直

(B) 平行

(C) 相交但不垂直

(D) 要依P點的位置而定

解析:由題設知B1MANB1M=AN

四邊形ANB1M是平行四邊形,

B1NAM,B1NAMC1平面.

C1MCN,得CN∥平面AMC1,則平面B1NCAMC1,NP平面B1NC,

NP∥平面AMC1

答案選B.

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84. 已知ab、c是三條不重合的直線,α、β、r是三個不重合的平面,下面六個命題:

ac,bcab;

ar,brab;

③α∥c,βcα∥β;

④α∥rβrα∥β;

ac,α∥ca∥α;

ar,α∥ra∥α.

其中正確的命題是                                               (   )

(A) ①④                         (B) ①④⑤

(C) ①②③                       (D) ①⑤⑥

解析:由公理4“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”可知命題①正確;若兩條不重合的直線同平行于一個平面,它們可能平行,也可能異面還可能相交,因此命題②錯誤;平行于同一條直線的兩個不重合的平面可能平行,也可能相交,命題③錯誤;平行于同一平面的兩個不重合的平面一定平行,命題④正確;若一條直線和一個平面分別平行于同一條直線或同一個平面,那么這條直線與這個平面或平行,或直線在該平面內,因此命題⑤、⑥都是錯的,答案選A.

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83. 已知:ab是異面直線,a平面ab平面b,ab,ba

求證:ab

證法1:在a上任取點P,

顯然Pb

于是b和點P確定平面g

g a 有公共點P

a gb

b′和a交于P,

ba

bb

b′∥b

ab

這樣a 內相交直線ab′都平行于b

ab

證法2:設ABa、b的公垂線段,

ABb作平面g ,

g b′,

ABa作平面d ,

ba′.

aaa

bbb

ABaABa′,ABbABb

于是ABa ABbab

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