532. 如圖,正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a,點(diǎn)P、Q分別在BD和SC上,并且BP∶PD=1∶2,PQ∥平面SAD,求線段PQ的長(zhǎng).
解析: 要求出PQ的長(zhǎng),一般設(shè)法構(gòu)造三角形,使PQ為其一邊,然后通過解三角形的辦法去處理.
作PM∥AD交CD于M連QM,∵PM∥平面SAD,PQ∥平面SAD.
∴平面PQM∥平面SAD,而平面SCD分別與此兩平行平面相交于QM,SD.
∴QM∥SD.
∵BC=a,SD=2a.
∴=.
∴==,MP=a,
===.
∴MQ=SD=a,又∠PMQ=∠ADS.
∴cos∠PMQ=cos∠ADS==.
在ΔPMQ中由余弦定理得
PQ2=(a)2+(a)2-2·a·a·=a2.
∴PQ=a.
評(píng)析:本題的關(guān)鍵是運(yùn)用面面平行的判定和性質(zhì),結(jié)合平行線截比例線段定理,最后由余弦定理求得結(jié)果,綜合性較強(qiáng).
531. 如果一條直線和兩個(gè)平面中的一個(gè)相交,那么它和另一個(gè)平面也相交.
已知:α∥β,l∩α=A.
求證:l與β相交.
證明:∵α∥β,l∩α=A
∴Aβ.
假設(shè)l與β不相交,則l∥β
在平面β內(nèi)任取一點(diǎn)D,則Dl.
∴點(diǎn)D、l確定平面PBD,如圖
∵α與平面PBD相交于過A的一條直線AC,
β與平面PBD相交于過點(diǎn)D的一條直線BD.
又α∥β ∴AC與BD無公共點(diǎn).
∵AC和BD都在平面PBD內(nèi),
∴AC∥BD.
由l∥β可知l∥BD.
∴AC∥l且l與AC相交于A.
∴AC與l重合,又AC在平面α內(nèi).
∴l(xiāng)在α內(nèi)與l∩α=A矛盾.
∴假設(shè)不成立,
∴l(xiāng)與β必相交.
530. 已知:平面α∥平面β,且aα,b平面β,a,b為兩條異面直線.
求證:異面直線a、b間的距離等于平面α,β之間的距離.
證:設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段,如圖過點(diǎn)B,作直線a′,使a′∥a.
∵α∥β,aβ,
∴a∥β,∴a′β.
∵AB⊥a,∴AB⊥a′
又AB⊥b,且a′∩b=B.
∴AB⊥β
∵α∥β,∴AB⊥α
∴AB的長(zhǎng)是平行平面α,β間的距離.
說明 求兩異面直線間的距離有時(shí)可能轉(zhuǎn)化為求兩平行平面間的距離.
529. 已知a、b是異面直線,aα,a∥β,bβ,b∥α,求證α∥β.
解析: 證明兩個(gè)平面平行通常利用判定定理來證.
證明 如圖,過a作任一平面和平面β交于a′,
∵a∥β ∴a∥a′.
又a′β,a′α
∴a′∥α且a′與b相交,
∵bβ,b∥α.
∴α∥β.
另證設(shè)c是異面直線a、b的公垂線,則過a、c可以確定一個(gè)平面,設(shè)γ∩β=a′∵a∥β,∴a′∥a,
∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交,∴c⊥β
同理可證:c⊥α,∴α∥β
528. 如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠A=60°,PC⊥平面ABCD,PC=a,E是PA的中點(diǎn).
(1)求證平面BDE⊥平面ABCD.
(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離.
(3)求二面角A-EB-D的平面角大小.
解析:(1)設(shè)O是AC,BD的交點(diǎn),連結(jié)EO.
∵ABCD是菱形,∴O是AC、BD的中點(diǎn),
∵E是PA的中點(diǎn),∴EO∥PC,又PC⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD,EO平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD.
(2)EO∥PC,PC平面PBC,
∴EO∥平面PBC,于是點(diǎn)O到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離.作OF⊥BC于F,
∵EO⊥平面ABCD,EO∥PC,PC平面PBC,∴平面PBC⊥平面ABCD,于是OF⊥平面PBC,OF的長(zhǎng)等于O到平面PBC的距離.
由條件可知,OB=,OF=×=a,則點(diǎn)E到平面PBC的距離為a.
(3)過O作OG⊥EB于G,連接AG
∵OE⊥AC,BD⊥AC
∴AC⊥平面BDE
∴AG⊥EB(三垂線定理)
∴∠AGO是二面角A-EB-D的平面角
∵OE=PC=a,OB=a
∴EB=a.
∴OG==a 又AO=a.
∴tan∠AGO==
∴∠AGO=arctan.
評(píng)析 本題考查了面面垂直判定與性質(zhì),以及利用其性質(zhì)求點(diǎn)到面距離,及二面角的求法,三垂線定理及逆定理的應(yīng)用.
說明 處理翻折問題,只要過不在棱上的點(diǎn)作棱的垂直相交的線段,就可以化成基本題
527. 在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直線B′C與平面ABC成30°的角.(如圖所示)
(1)求點(diǎn)C′到平面AB′C的距離;
(2)求二面角B-B′C-A的余弦值.
解析:(1)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱,∴A′C′∥AC,AC平面AB′C,∴A′C′∥平面AB′C,于是C′到平面AB′C的距離等于點(diǎn)A′到平面AB′C的距離,作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′,∴A′M⊥平面AB′C,A′M的長(zhǎng)是A′到平面AB′C的距離.
∵AB=B′B=1,⊥B′CB=30°,∴B′C=2,BC=,AB′=,A′M==.
即C′到平面AB′C的距離為;
(2)作AN⊥BC于N,則AN⊥平面B′BCC′,作NQ⊥B′C于Q,則AQ⊥B′C,∴∠AQN是所求二面角的平面角,AN==,AQ==1.∴sin∠AQN==,cos∠AQN=.
說明 利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式,也可以求二面角的大小,如圖,AB=BB′=1,∴AB′=,又∠B′CB=30°,
∴BC=,B′C=2,AC=.作AM⊥B′C于M,BN⊥B′C于N,則AM=1,BN=,
CN=,CM=1,∴MN=.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C,∴BN與AM所成的角等于二面角B-B′C-A的平面角.設(shè)為θ.由AB2=AM2+BN2+MN2-2AM×BN×cosθ得cosθ==.
526. 如圖所示,在三棱錐S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=SC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).
解法一:由于SB=BC,且E是SC中點(diǎn),因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,
∴SC⊥平面BDE,
∴SC⊥BD,
又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,
∴SA⊥BD.
而SA∩SC=S,
所以BD⊥平面SAC.
∵DE=平面SAC∩平面BDE,DC=平面SAC∩平面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,
∴SA⊥AB,SA⊥AC.
設(shè)SA=a,則AB=a,BC=SB=a.
又AB⊥BC,所以AC=a.在RtΔSAC中
tg∠ACS==,所以∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.
解法二:由于SB=BC,且E是SC的中點(diǎn),因此BE是等腰ΔSBC的底邊SC的中線,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E.
∴SC⊥平面BDE,SC⊥BD.
由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以,AC是SC在平面ABC上的射影,由三垂線定理的逆定理得BD⊥AC;又E∈SC,AC是SC在平面內(nèi)的射影,所以E在平面ABC內(nèi)的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC內(nèi)的射影在AC上,根據(jù)三垂線定理得BD⊥DE.
∵DE平面BDE,DC平面BDC.
∴∠EDC是所求二面角的平面角.
以下解法同解法一.
525. 如圖,四面體ABCD的棱BD長(zhǎng)為2,其余各棱的長(zhǎng)均是,求:二面角A-BD-C、A-BC-D、B-AC-D的大小.
解析:(1)取BD的中點(diǎn)O,連AO、OC.
在ΔABD中,∵AB=AD=,BD=2,
∴ΔABD是等腰直角三角形,AO⊥BD,同理OC⊥BD.
∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角
又AO=OC=1,AC=,
∴∠AOC=90°.
即二面角A-BD-C為直二面角.
(2)∵二面角A-BD-C是直二面角,AO⊥BD,∴AO⊥平面BCD.
∴ΔABC在平面BCD內(nèi)的射影是ΔBOC.
∵SΔOCB=,SΔABC=,∴cosθ=.
即二面角A-BC-D的大小是arccos.
(3)取AC的中點(diǎn)E,連BE、DE.
∵AB=BC,AD=DC,
∴BD⊥AC,DE⊥AC,∴∠BED就是二面角的平面角.
在ΔBDE中,BE=DE=,由余弦定理,得cosα=-
∴二面角B-AC-D的大小是π-arccos.
評(píng)析 本例提供了求二面角大小的方法:先作出二面角的平面角,再利用其所在的三角形算出角的三角函數(shù)值,或利用面積的射影公式S′=S·cosθ求得.
524. 在三棱錐S-ABC中,∠ASB=∠BSC=60°,∠ASC=90°,且SA=SB=SC,求證:平面ASC⊥平面ABC.
證明 取AC的中點(diǎn)O,連SO、BO,由已知,得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC=AB=a,SA=SC=a,又SO⊥AC,BO⊥AC,∴∠SOB就是二面角S-AC-B的平面角.又∵SA=AB=a,SC=BC=a,AC=AC,∴ΔACS≌ΔACB.
∴SO=BO=a.
在ΔSOB中,∵SB=a,∴∠SOB=90°.
即平面SAC⊥平面ABC.
另證:過S作SO⊥平面ABC,垂足是O.∵SA=SB=SC,∴S在平面內(nèi)的射影是ΔABC的外心,同前面的證明,可知ΔABC是直角三角形,∴O在斜邊AC上.
又∵平面SAC經(jīng)過SO,∴平面SAC⊥平面ABC
說明 證明“面面垂直”的常用方法是根據(jù)定義證明平面角是90°,或利用判定定理證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線.
523. 直線a、b是異面直線,a⊥平面α,b⊥平面β,a⊥b,求證:α⊥β.
證明 過b上任意一點(diǎn)作直線a′,使a∥a′.∵a⊥b,∴a′⊥b.
設(shè)相交直線a′、b確定一個(gè)平面,∩β=c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.
在平面內(nèi),b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ,∴β⊥α
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