Question

求證：可以找到一個各位數(shù)字都是7的自然數(shù)，它是2007的倍數(shù)．

Answer 1

考點：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：因為2007=9×223，能被9整除則7的個數(shù)一定是9的倍數(shù)，再看223是素數(shù)，進(jìn)一步由費爾瑪定理分析探討得出答案即可．

解答： 解：因為2007=9×223，
能被9整除則7的個數(shù)一定是9的倍數(shù)，再看223是素數(shù)，
由費爾瑪定理可知10²²²=1（mod223），10²²²-1=0（mod223），即999…9（222個9）=0（mod223），
由于9與223互素，可知111…1=0（mod223），111…1（222個1組成）能被223整除．
下面證明111…1（222個1）是能被223整除的最小數(shù)，首先證明，能被223整除的最小數(shù)一定是全由1組成，
否則假設(shè)一個由n個1，m個零構(gòu)成的數(shù)111…1100…00能被223整除，由111…1100…00=111…11×10^m，且10^m與223互素，
故111…11也能被223整除，這與111…1100…00是最小數(shù)矛盾．
另一方面，如果111…1（n個1）能被223整除，則999…9（n個9）也能被223整除，
則10ⁿ=1（mod223），由于10是223的原根，則必有n≥222，這就證明了111…1（222個1）是能被223整除的最小數(shù)．
所以再把1換做7，就可以找出一個各位數(shù)字都是7的自然數(shù)，它是2007的倍數(shù)．

點評：此題考查數(shù)的整除特征，利用費馬定理轉(zhuǎn)化問題分析求解即可．