Question

一個(gè)回文數(shù)是指從首位數(shù)讀到末位數(shù)，與從末位數(shù)讀到首位數(shù)都相同的數(shù)（例如：11511，22222，10001）．請(qǐng)問可被11整除的五位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)與全部五位數(shù)的回文數(shù)的個(gè)數(shù)之比為何？答案請(qǐng)用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示之．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征,比的意義

專題：整除性問題

分析：五位回文數(shù)的一般形式為ABCBA，所以五位回文數(shù)共有9×10×10=900個(gè)；
若五位回文數(shù)能被11整除，則2a+c與2b的差是11的倍數(shù)，
即2a+c-2b=11，2a+c-2b=22，2b-（2a+c）=11或2b=2a+c；
若2a+c-2b=11，則c為奇數(shù)，共35個(gè)數(shù)；
若2a+c-2b=22，則c為偶數(shù)，共6個(gè)數(shù)；
若2b-（2a+c）=11，則c為奇數(shù)，共有6個(gè)數(shù)；
若2b=2a+c，則c為偶數(shù)，共35個(gè)數(shù)．
由此可以求出能被11整除的五位回文數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出被11整除的五位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)與全部五位回文數(shù)的個(gè)數(shù)之比．

解答： 解：五位回文數(shù)的一般形式為ABCBA，因A只能取1-9共9鐘情況，B和C分別有10鐘可能，
所以共有9×10×10=900個(gè)回文數(shù)；
若五位回文數(shù)能被11整除，則2a+c與2b的差是11的倍數(shù)，
即2a+c-2b=11，2a+c-2b=22，2b-（2a+c）=11或2b=2a+c；
若2a+c-2b=11，則c為奇數(shù)，當(dāng)c=1時(shí)，a-b=5，b=0，1，2，3，4；
當(dāng)c=3時(shí)，a-b=4，b=0，1，2，3，4，5；
當(dāng)c=5 時(shí)，a-b=3，b=0，1，2，3，4，5，6；當(dāng)c=7時(shí)，a-b=2，b=0，1，2，3，4，5，6，7；
當(dāng)c=9 時(shí)，a-b=1，b=0，1，2，3，4，5，6，7，8．共35個(gè)數(shù)；
若2a+c-2b=22，則c為偶數(shù)，且不小于4，當(dāng)c=4時(shí)，a-b=9，b=0；
當(dāng)c=6時(shí)，a-b=8，b=0，1；當(dāng)c=8時(shí)，a-b=7，b=0，1，2．共6個(gè)數(shù)；
若2b-（2a+c）=11，則c為奇數(shù)，當(dāng)c=1時(shí)，b-a=6，a=1，2，3；
當(dāng)c=3時(shí)，b-a=7，a=1，2；
當(dāng)c=5時(shí)，b-a=8，a=1；
c=7或9時(shí)，a和b無(wú)法同時(shí)為1位數(shù)，所以共有6個(gè)數(shù)；
若2b=2a+c，則c為偶數(shù)，當(dāng)c=0時(shí)，a=b，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9；
當(dāng)c=2 時(shí)，b=a+1，a=1，2，3，4，5，6，7，8；
當(dāng)c=4時(shí)，b=a+2，a=1，2，3，4，5，6，7；
當(dāng)c=6 時(shí)，b=a+3，a=1，2，3，4，5，6；
當(dāng)c=8時(shí)，b=a+4，a=1，2，3，4，5．共35個(gè)數(shù)．
所以能被11整除的五位回文數(shù)有35+6+6+35=82個(gè)，與全部五位回文數(shù)的個(gè)數(shù)之比為82：900=41：450；
答：可被11整除的五位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)與全部五位數(shù)的回文數(shù)的個(gè)數(shù)之比是41：450．

點(diǎn)評(píng)：此題較難，應(yīng)結(jié)合題意，進(jìn)行分析，求出能被11整除的五位回文數(shù)的個(gè)數(shù)，是解答此題的關(guān)鍵．