Question

若24a²+1=b²，求證：a和b中有且僅有一個(gè)能被5整除．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問(wèn)題

分析：我們把問(wèn)題轉(zhuǎn)換一下：求證a和b中有且僅有一個(gè)能被5整除，相當(dāng)于證明a和b不可能都被5整除，也不可能都不被5整除，進(jìn)一步根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方被5除（不整除）會(huì)出現(xiàn)兩種情況：余數(shù)為1或-1來(lái)解決問(wèn)題．

解答： 解：由于b²-24a²=1，顯然a和b不可能都被5整除．下面證明a和b不可能都不被5整除．
若a和b都不能被5整除，則a²和b²為5k±1型．
若a²和b²之一為5k+1型，另一為5k-1型，則a²+b²
能被5整除．由24a²+1=b²，得25a²+1=a²+b²．然而，25a²+1不能被5整除，所以a²和b²不可能一個(gè)為5k+1型，另一個(gè)為5k-1型．
若a²和b²同為5k+1型或同為5k-1型，則a²-b²能被5整除，而a²-b²=-（23a²+1）．考察23a²+1的個(gè)位數(shù)：

由上表可看出23a²+1的個(gè)位數(shù)沒(méi)有0或5，因此，23a²+1不能被5整除，從而a²-b²不能被5整除．所以，a²和b²不可能同為5k+1或同為5k-1型．
于是a和b有一個(gè)且僅有一個(gè)能被5整除．

點(diǎn)評(píng)：此題考查被一個(gè)數(shù)整除數(shù)的特征，注意掌握一個(gè)數(shù)的平方被5除（不整除）會(huì)出現(xiàn)兩種情況：余數(shù)為1或-1．