若24a2+1=b2,求證:a和b中有且僅有一個能被5整除.
考點:數(shù)的整除特征
專題:整除性問題
分析:我們把問題轉(zhuǎn)換一下:求證a和b中有且僅有一個能被5整除,相當于證明a和b不可能都被5整除,也不可能都不被5整除,進一步根據(jù)一個數(shù)的平方被5除(不整除)會出現(xiàn)兩種情況:余數(shù)為1或-1來解決問題.
解答: 解:由于b2-24a2=1,顯然a和b不可能都被5整除.下面證明a和b不可能都不被5整除.
若a和b都不能被5整除,則a2和b2為5k±1型.
若a2和b2之一為5k+1型,另一為5k-1型,則a2+b2
能被5整除.由24a2+1=b2,得25a2+1=a2+b2.然而,25a2+1不能被5整除,所以a2和b2不可能一個為5k+1型,另一個為5k-1型.
若a2和b2同為5k+1型或同為5k-1型,則a2-b2能被5整除,而a2-b2=-(23a2+1).考察23a2+1的個位數(shù):

由上表可看出23a2+1的個位數(shù)沒有0或5,因此,23a2+1不能被5整除,從而a2-b2不能被5整除.所以,a2和b2不可能同為5k+1或同為5k-1型.
于是a和b有一個且僅有一個能被5整除.
點評:此題考查被一個數(shù)整除數(shù)的特征,注意掌握一個數(shù)的平方被5除(不整除)會出現(xiàn)兩種情況:余數(shù)為1或-1.
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直接寫出得數(shù).
33=
10÷10%=
5
8
:5=
5
9
-
5
6
+
4
9
=
1
6
÷7×
1
6
=

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直接寫得數(shù).
3
4
-
1
2
=

20÷26=

3
10
+
2
5
=

1-
4
9
+
5
9
=
7
8
+
5
8
=
7
8
-
3
8
+
3
8
=
2-
2
3
=
1-0.09=

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