Question

求方程x²+2y²=1979的正整數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：不定方程的分析求解

專題：不定方程問題

分析：先證明若方程有正整數(shù)解，則x和y必都為奇數(shù)．再根據(jù)個(gè)位數(shù)的特點(diǎn)解答即可．

解答： 解：首先證明若方程有正整數(shù)解，則x和y必都為奇數(shù)．
x為奇數(shù)是顯然的．若y為偶數(shù)，由于x²為4k+1型的數(shù)，故x²+2y²為4k+1型的數(shù)，而1979為4k+3型的數(shù)，則x²+2y²為4k+1型的數(shù)，而1979為4k+3型的數(shù)，這是不可能的，從而y也為奇數(shù)．
由于x²的個(gè)位數(shù)是1，5，9；2y²的個(gè)位數(shù)是0，2，8，由于x²+2y²的個(gè)位數(shù)是9，可得x²的個(gè)位數(shù)只能為1，9；y²的個(gè)位數(shù)只能是5，3，7（考慮到y(tǒng)是奇數(shù)），
因?yàn)?y²≤1979，則y²≤

1979

2

，所以y≤31，而不大于31的個(gè)位是5，3，7的數(shù)只有3，5，7，13，15，17，23，25，27．
經(jīng)檢驗(yàn)，知x=27，y=25是原方程的正整數(shù)解．
答：原方程的正整數(shù)解為

x=27 y=25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了不定方程的解，將原式變形轉(zhuǎn)化為奇偶性問題是解題的關(guān)鍵．