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【題目】設數列的首項為1,前n項和為,若對任意的,均有k是常數且)成立,則稱數列數列

1)若數列數列,求數列的通項公式;

2)是否存在數列既是數列,也是數列?若存在,求出符合條件的數列的通項公式及對應的k的值;若不存在,請說明理由;

3)若數列數列 ,設,證明:

【答案】12見解析;3見解析.

【解析】試題分析:(1數列數列,則,可得,兩式相減得: ,數列為等比數列,其通項公式為;(2假設存在這樣的數列,則有,故有兩式相減得同理可得: ,可得,又,即,兩者矛盾,從而可得結果;3利用錯位相減思想,可得.

試題解析:(1)數列數列,則

,兩式相減得: ,又n=1時, ,所以,

對任意的恒成立,即(常數),故數列為等比數列,其通項公式為

2)假設存在這樣的數列,則有,故有

兩式相減得: ,故有

同理由數列可得: ,

所以對任意恒成立

所以,即,又,即,兩者矛盾,故不存在這樣的數列既是數列,也是數列

3)因為數列數列,所以

所以

故有, ,又n=1時, ,故,滿足:

所以對任意正整數n恒成立,數列的前幾項為:1,2,3,5,8,

所以,

兩式相減得:

=,顯然,故,即

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