Question

如圖，M是△ABC中BC邊的中點，O是AM上任意一點，連接BO、CO并延長交AC、AB于D、E，求證：DE∥BC．

Answer 1

考點：平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：過O作NF∥BC交AB于N，交AC于F．根據(jù)平行線分線段成比例定理3得出NO：MB=AO：AM，OF：MC=AO：AM，由MB=MC，得出NO=OF．再根據(jù)平行線分線段成比例定理3得出NO：BC=EO：EC，OF：BC=DO：BD，等量代換得到EO：EC=DO：BD，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理2得出DE∥BC．

解答：證明：過O作NF∥BC交AB于N，交AC于F．
∵NO∥BM，OF∥MC，
∴NO：MB=AO：AM，OF：MC=AO：AM，
∵MB=MC，
∴NO=OF．
∵NO∥BC，OF∥BC，
∴NO：BC=EO：EC，OF：BC=DO：BD，
∴EO：EC=DO：BD，
∴DE∥BC．

點評：本題主要考查了根據(jù)平行線分線段成比例定理，難度適中．
（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．
（2）定理2：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．
（3）定理3：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．