Question

【閱讀】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“相對(duì)距離”我們記為d（p₁，p₂），給出如下定義：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P₂（x₂，y₂）的相對(duì)距離d（p₁，p₂）=|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P₂（x₂，y₂）的相對(duì)距離d（p₁，p₂）=|y₁-y₂|；[嘗試]
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）作P₁Q⊥y軸，P₂Q⊥x軸，
（1）若P₁（1，2），P₂（2，4），則d（p₁，p₂）=

 

．
（2）當(dāng)d（p₁，p₂）最小時(shí)，∠P₂P₁Q=

 

．[探究]
已知C是直線y=-

3

4

x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求d（C，D）的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求d（C，E）的最小值及相應(yīng)點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：閱讀型

分析：[嘗試]（1）根據(jù)閱讀材料就可得到答案；（2）由閱讀材料可知：僅當(dāng)|x₁-x₂|=|y₁-y₂|時(shí)，d（p₁，p₂）取最小值，由此就可解決問題．
[探究]①過點(diǎn)D作直線AC與x軸交于A，與直線EF交于C，過點(diǎn)C作CB⊥y軸于B，如圖2，根據(jù)d（p₁，p₂）取最小值時(shí)|x₁-x₂|=|y₁-y₂|可得BC=BD，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，-

3

4

x0+3），根據(jù)BC=BD可建立關(guān)于x₀的方程，就可解決問題；②當(dāng)點(diǎn)E在過原點(diǎn)且與直線y=-

3

4

x+3垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“相對(duì)距離”最小，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y）（點(diǎn)E位于第一象限），建立關(guān)于x、y的方程組，解這個(gè)方程組就可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，-

3

4

x0+3），由EF=FC建立x₀的方程，就可解決問題．

解答：解：[嘗試]
（1）∵

.

1-2

.

=1，

.

2-4

.

=2，1＜2，∴d（p₁，p₂）=2．
故答案為：2．
（2）由閱讀材料可知：僅當(dāng)|x₁-x₂|=|y₁-y₂|時(shí)，d（p₁，p₂）取最小值．
此時(shí)P₁Q=P₂Q．
∵∠P₁QP₂=90°，∴∠P₂P₁Q=∠P₁P₂Q=45°．
故答案為：45°

[探究]
①過點(diǎn)D作直線AC與x軸交于A，與直線EF交于C，過點(diǎn)C作CB⊥y軸于B，如圖2，
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)D的“相對(duì)距離”的最小值時(shí)，|x₁-x₂|=|y₁-y₂|．
則有BC=BD，
所以△BCD為等腰直角三角形，∠BDC=45°．
∵C是直線y=-

3

4

x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，-

3

4

x0+3）．
∵點(diǎn)C在第一象限，∴x₀＞0，-

3

4

x0+3＞1．
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），
∴x0=-

3

4

x0+3-1．
解得：x₀=

8

7

．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

8

7

，

15

7

)，點(diǎn)C與點(diǎn)D的“相對(duì)距離”的最小值為

8

7

．
②當(dāng)點(diǎn)E在過原點(diǎn)且與直線y=-

3

4

x+3垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“相對(duì)距離”最�。�
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y）（點(diǎn)E位于第一象限），
則

y x = 4 3 x2+y2=1

．
解得：

x= 3 5 y= 4 5

∴點(diǎn)E(

3

5

，

4

5

)．
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，-

3

4

x0+3），
由x0-

3

5

=-

3

4

x0+3-

4

5

得x0=

8

5

，
∴C(

8

5

，

9

5

)，此時(shí)最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題以閱讀材料的形式呈現(xiàn)，考查了閱讀理解能力、自主探究的能力、分析問題和解決問題的能力，而由閱讀材料領(lǐng)悟到“僅當(dāng)|x₁-x₂|=|y₁-y₂|時(shí)，d（p₁，p₂）取最小值”是解決本題的關(guān)鍵．