【題目】(1)操作思考:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角的直角頂點(diǎn)在原點(diǎn),將其繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn),若頂點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處.則①的長為______;②點(diǎn)的坐標(biāo)為______(直接寫結(jié)果)
(2)感悟應(yīng)用:如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,將等腰直角如圖放置,直角頂點(diǎn),點(diǎn),試求直線的函數(shù)表達(dá)式.
(3)拓展研究:如圖3,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),過點(diǎn)作軸,垂足為點(diǎn),作軸,垂足為點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn),點(diǎn)是直線上一動點(diǎn).問是否存在以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角,若存在,請直接寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理可得OA長,由對應(yīng)邊相等可得B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)通過證明得出點(diǎn)B坐標(biāo),用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為,可通過證三角形全等的性質(zhì)可得a的值,由Q點(diǎn)坐標(biāo)可間接求出P點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)如圖1,作軸于F,軸于E.
由A點(diǎn)坐標(biāo)可知
在中,根據(jù)勾股定理可得;
為等腰直角三角形
軸于F,軸于E
又
所以B點(diǎn)坐標(biāo)為:
(2)如圖,過點(diǎn)作軸.
為等腰直角三角形
軸
又
∴,
∴,
∴.
設(shè)直線的表達(dá)式為
將和代入,得
,
解得,
∴直線的函數(shù)表達(dá)式.
(3)如圖3,分兩種情況,點(diǎn)Q可在x軸下方和點(diǎn)Q在x軸上方
設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為,點(diǎn)P坐標(biāo)為
當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時,連接,過點(diǎn)作 交其延長線于M,則M點(diǎn)坐標(biāo)為
為等腰直角三角形
又
由題意得
,
解得 ,所以
當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時,連接,過點(diǎn)作 交其延長線于N,則N點(diǎn)坐標(biāo)為
同理可得,
由題意得
,
解得 ,所以
綜上的坐標(biāo)為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為直線上的一點(diǎn),且為直角,平分.
(1)如圖1,若,則等于多少度;
(2)如圖2,若平分,且,求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,完成任務(wù):
自相似圖形
定義:若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn),連接EG,HF交于點(diǎn)O,易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.
任務(wù):
(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中,每個正方形與原正方形的相似比為 ;
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則△ACD與△ABC的相似比為 ;
(3)現(xiàn)有一個矩形ABCD是自相似圖形,其中長AD=a,寬AB=b(a>b).
請從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇 題.
A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含n,b的式子表示);
B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含m,n,b的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的△ABC,若小方格邊長為1,格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形)的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(﹣1,1),(0,﹣2),請你根據(jù)所學(xué)的知識.
(1)在如圖所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系;
(2)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的三角形A1B1C1;
(3)判斷△ABC的形狀,并求出△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學(xué)生的特長愛好,提高學(xué)生的綜合素質(zhì),某校音樂特色學(xué)習(xí)斑準(zhǔn)備從京東商城里一次性購買若干個尤克里里和豎笛(每個尤克里里的價格相同,每個豎笛的價格相同),購買個豎笛和個尤克里里共需元;豎笛單價比尤克里里單價的一半少元.
(1)求豎笛和尤克里里的單價各是多少元?
(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況,需一次性購買豎笛和尤克里里共個,但要求購買豎笛和尤克里里的總費(fèi)用不超過元,則該校最多可以購買多少個尤克里里?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若中,,高AD=12cm,則BC的長為( )
A. 14 cm B. 4 cm C. 14cm或4 cm D. 以上都不對
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯,且∠QPN=30°,點(diǎn)A處有一所中學(xué),AP=160m.若拖拉機(jī)行駛時,周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響,那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時:
(1)學(xué)校是否會受到噪聲影響?
(2)如果不受影響,請說明理由;如果受影響,已知拖拉機(jī)的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時間為多少秒?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖①,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)請按要求畫圖:將△ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′,連接BB′;
(2)在(1)所畫圖形中,∠AB′B= .
【問題解決】
如圖②,在等邊三角形ABC中,AC=7,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.
小明同學(xué)通過觀察、分析、思考,對上述問題形成了如下想法:
想法一:將△APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′B,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系;
想法二:將△APB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.
…
請參考小明同學(xué)的想法,完成該問題的解答過程.(一種方法即可)
【靈活運(yùn)用】
如圖③,在四邊形ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k為常數(shù)),求BD的長(用含k的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,4)和(4,4),拋物線y=a(x+m)2+n的頂點(diǎn)在線段AB上,與x軸交于C,D兩點(diǎn)(C在D的左側(cè)),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為﹣3,則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的最大值為______.
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