Question

如圖，正方形ABCD的邊長為8，E、F分別為BC、CD邊上的點，且tan∠EAF=

1

2

，F(xiàn)G∥BC交AE于點G．若FG=5，則EF的長為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：延長FG交AB于H，過點G作GK⊥AF于K，設(shè)GK=x，表示出AK，利用勾股定理列式表示出AG²，KF，再表示出AH，AF，在Rt△AHF中，利用勾股定理列出方程求出x的值，從而求出AH，再根據(jù)△AHG和△ABE相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BE、BH，再求出EC、FC，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：如圖，延長FG交AB于H，過點G作GK⊥AF于K，設(shè)GK=x，
∵tan∠EAF=

1

2

，
∴AK=2x，
在Rt△AGK中，AG²=GK²+AK²=x²+（2x）²=5x²，
∵正方形ABCD的邊長為8，F(xiàn)G=5，
∴HG=8-5=3，
∴AH=

AG2-HG2

=

5x2-9

，
在Rt△GFK中，KF=

FG2-GK2

=

25-x2

，
AF=2x+

25-x2

，
在Rt△AFH中，AF²=AH²+HF²，
即（2x+

25-x2

）²=（

5x2-9

）²+8²，
整理得，x⁴-14x²+45=0，
解得x²=5或9，
所以，x=

5

或3，
當(dāng)x=

5

時，AH=

5×5-9

=4，
∴BH=8-4=4，
∵FG∥BC，
∴△AHG∽△ABE，
∴

AH

AB

=

HG

BE

，
即

4

8

=

3

BE

，
解得BE=6，
∴CE=8-6=2，
在Rt△CEF中，EF=

EC2+CF2

=

22+42

=2

5

，
當(dāng)x=3時，AH=

5×9-9

=4，
∴BH=8-6=2，
∵FG∥BC，
∴△AHG∽△ABE，
∴

AH

AB

=

HG

BE

，
即

6

8

=

3

BE

，
解得BE=4，
∴CE=8-4=4，
在Rt△CEF中，EF=

EC2+CF2

=

42+22

=2

5

，
綜上所述，EF的長為2

5

．
故答案為：2

5

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出直角三角形并利用勾股定理列出方程，然后解無理方程．