Question

7．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，△AEF的兩條高相交于M，AC=a，EF=b，求AM的長．

Answer 1

分析 過點C作CG⊥AD交AD于點G，連接EG、FG，證出CG∥AE，四邊形AECG是矩形，得出AE=GC，EG=AC=a，證出EM∥CF，得出∠AEM=∠GCF，四邊形EMFC是平行四邊形，得出EM=CF，由SAS證明△AEM≌△GCF，得出AM=GF，∠EAM=∠CGF，證出AM∥GF，得出GF⊥EF，由勾股定理求出GF，即可得出AM的長．

解答 解：過點C作CG⊥AD交AD于點G，連接EG、FG，如圖所示：
∵AE⊥BC于點E，
∴CG∥AE，
又∵?ABCD的邊AD∥BC，AE⊥BC
∴四邊形AECG是矩形，
∴AE=GC，EG=AC=a，
∵EM⊥AF，AF⊥CD，
∴EM∥CF，
∴∠AEM=∠GCF，四邊形EMFC是平行四邊形，
∴EM=CF，
在△AEM和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=GC}&{\;}\\{∠AEM=∠GCF}&{\;}\\{EM=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△GCF（SAS），
∴AM=GF，∠EAM=∠CGF，
∵∠EAG=∠CGD=90°，
∴∠MAG=∠FGD，
∴AM∥GF，
∵△AEF的兩條高相交于M，
∴AM⊥EF，
∴GF⊥EF，
在Rt△EFG中，GF=$\sqrt{E{G}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，
∴AM=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．