Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x-4分別與x軸、y軸交于點A和點B，拋物線y=ax²-3x+c經(jīng)過A、B兩點．點C為第四象限拋物線上一動點（不與點A、點B重合），過點C作CE⊥x軸于點E，交直線AB于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設C點的橫坐標為m，CD的長為n，求n關于m的函數(shù)關系式，并求n的最大值；
（3）當CD最長時，連結(jié)CB，將△BCD以每秒1個單位的速度沿射線BO方向平行移動，當點C運動到點E時停止運動．把運動過程中的△BCD記為△B′C′D′，設運動時間為t，△B′C′D′與四邊形OBDE重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)解析式，并寫出對應t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由直線y=x-4分別與x軸、y軸交于點A和點B都在拋物線上，則先求出A，B坐標，皆可滿足y=ax²-3x+c．由y=ax²-3x+c中只有兩個未知數(shù)，所以代入兩點即可求系數(shù)a、c，則解析式可求．
（2）由CD長n=D點縱坐標-C點縱坐標，又直線與拋物線解析式已知，且C、D橫坐標都為m，代入可推出C點縱坐標、D點縱坐標，進而有n關于m的關系式．再由二次函數(shù)最值的性質(zhì)，最值可確定．
（3）對于此題，求重疊面積可利用△BDC面積-未重疊部分面積為佳，若能知道△BDC的更多信息，題目就越易攻破．觀察發(fā)現(xiàn)△BDC類似直角等腰三角形，且由點坐標易判斷△AOB為等腰直角三角形，所以可以考慮先證其相似，進而有底邊與高比例等相關信息．考慮移動全過程，圖形關系可以大致分為三個階段，一、D′在ED上，未重疊部分與△BDC相似，則可利用面積比等于邊長比的平方表示其面積；二、D′在DE的延長線上，且B′在OB上，此時未重疊的部分是2個小三角形，此情形運動到最上端，恰好B′，C′分別于O，D重合；三、C點在ED上，此時未重疊部分也為一個三角形．分別表示出來各自關系，切記還要寫出對應t的取值范圍．

解答：解：（1）∵直線y=x-4分別與x軸、y軸交于點A和點B，
∴A（4，0），B（0，-4）
將A、B坐標代入y=ax²-3x+c，
解得 a=1，c=-4
∴拋物線的解析式為y=x²-3x-4．

（2）∵C點的橫坐標為m，
∴D點的橫坐標也為m．
∵C在y=x²-3x-4上，D在y=x-4上，
∴C（m，m²-3m-4），D（m，m-4），
∴n=（m-4）-（m²-3m-4）=-m²+4m，
由二次函數(shù)最值的性質(zhì)，m=-

4

2×(-1)

=2時，n取最大值4．

（3）答：S=-

t2

4

+2t （0≤t≤2），S=-

3t2

4

+4t-2，（2＜t≤4），S=

t2

2

-6t+18，（4＜t≤6）．
（以下為分析過程，不用作答）
如圖1，過點E作EF⊥CD于F，此時△AED∽△AOB，△AED∽△BFD，C（2，-6），D（2，-2），E（2，0），F(xiàn)（2，-4）．
在Rt△AOB中，
∵AO=OB=4，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠BDF=∠EDA=∠EAD=45°．
∵DF=FC，
∴∠BCF=∠BDF=45°
∴△BDC也為等腰直角三角形．
∵CD=4，BF=2，
∴S_△BDC=

1

2

•BF•CD=4．
情形①，如備用圖1：D′在ED上（0≤t≤2），記BD交B′C′于點G，此時四邊形B′GDD′為重疊部分面積，且△GDC′∽△BDC．
∵DD′=t，CD=4，
∴C′D=4-t．
∵△GDC′∽△BDC，
∴

S△GDC′

S△BDC

=

(C′D)2

CD2

∴S_△GDC′=4•

(4-t)2

42

=

t2

4

-2t+4．
∴S=S_△BDC-S_△GDC′=-

t2

4

+2t （0≤t≤2）．
情形②，如備用圖2，D′在DE的延長線上，且B′在OB上，C′在CD上（2＜t≤4），記BD交B′C′于點G，OE交B′D′于點H，
此時五邊形B′HEDG為重疊部分，且△GDC′∽△BDC，△ED′H∽△BDC．
∵CD=BO=4，
∴t=4時，C點運動至D點，B點運動至O點．
∵CC′=DD′=t，CD=4，ED=2，
∴C′D=4-t，D′E=t-2．
∵△ED′H為等腰直角三角形，
∴HD′=

2

D′E=

2

(t-2)．
∵△GDC′∽△BDC，△ED′H∽△BDC，
∴

S△GDC′

S△BDC

=

(C′D)2

CD2

，

S△ED′H

S△BDC

=

(HD′)2

CD2

，
∴S_△GDC′=4•

(4-t)2

42

=

t2

4

-2t+4，
  S_△ED′H=4•

2(t-2)2

42

=

t2

2

-2t+2，
∴S=S_△BDC-S_△GDC′-S_△ED'H=-

3t2

4

+4t-2（2＜t≤4）．
情形③，如備用圖3，C′在DE的上（4＜t≤6），記OE與B′C′交于點I，此時△IEC′為重疊面積，且△EIC′∽△BDC．
∵CC′=t，EC=6，
∴EC′=6-t，
∵△EIC′為等腰直角三角形，
∴IC′=

2

EC′=

2

(6-t)．
∵△EIC′∽△BDC，
∴

S△EIC′

S△BDC

=

(C′I)2

CD2

∴S_△EIC'=4•

2(6-t)2

42

=

t2

2

-6t+18，
∴S=

t2

2

-6t+18（4＜t≤6）．
綜上所述，S=-

t2

4

+2t （0≤t≤2），S=-

3t2

4

+4t-2（2＜t≤4），S=

t2

2

-6t+18（4＜t≤6）．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象的相關性質(zhì)，并將一次函數(shù)與二次函數(shù)融合考查，雖然難度不高，但也考查學生的基本功．最后一問涉及到重疊面積，我們思考時因為要考慮變化圖形的不變量，所以通常用“大面積-未重疊面積”的思路表達，其中應用了相似圖形面積關系等知識．總體來說本題綜合性比較高，但方法很常規(guī)，是一道質(zhì)量較高的題目．