Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝k1x＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝ (x＜0)的圖象相交于點A(－1，2)、點B(－4，n)．

(1)求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△AOB的面積；

(3)在x軸上存在一點P，使△PAB的周長最小，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)P點坐標(biāo)為（，0）

【解析】分析：(1)由點A的坐標(biāo)求反比例函數(shù)的解析式，得到點B的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；(2)分別過點A，B用坐標(biāo)軸的平行線構(gòu)造矩形，用圖形面積的和差關(guān)系求三角形AOB的面積；(3)作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，直線A′B與x軸的交點即是點P.

詳解：(1)∵反比例的圖象經(jīng)過點A(—1，2)，

∴＝—1×2＝—2，

∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：，

∵反比例的圖象經(jīng)過點B(—4，n)，

∴—4n＝—2，，∴B點坐標(biāo)為(—4，)，

∵直線經(jīng)過點A(—1，2)，點B(—4，)，

∴，

①—②，得：3，∴，

把代入①，得：b＝，

∴一次函數(shù)表達(dá)式為：．

(2)如圖1所示，分別過點B作BD⊥x軸，垂足為D，過點A作AE⊥y軸，垂足為E，則四邊形ODFE為矩形，

∵點A(—1，2)，點B(—4，)，

∴OD＝EF＝4，OE＝DF＝2，AE＝1，BD＝，

∴，.

∵點A，點B在函數(shù)的圖象上，∴

∴.

(3)如圖2所示，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于點P，此時△PAB的周長最小，

∵點A′和A(—1，2)關(guān)于x軸對稱，∴點A′的坐標(biāo)為(—1，—2)，

設(shè)直線A′B的表達(dá)式為

∵經(jīng)過點A′(—1，—2)，點B(—4，)，∴

解得：，.

∴直線A′B的表達(dá)式為：.

當(dāng)y＝0時，則x＝，∴P點坐標(biāo)為(，0).