【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分別是線段AC、BC上的點,且四邊形PEFD為矩形.

(1)若△PCD是等腰三角形時,求AP的長;

(2)若AP=,求CF的長.

【答案】(1)4;5; (2)

【解析】試題分析:(1)先求出AC,再分三種情況討論計算即可得出結(jié)論;

2)先判斷出OC=EDOC=PF,進而得出OC=OP=OF,即可得出∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,最后判斷出△ADP∽△CDF,得出比例式即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)在矩形ABCD中,AB=6AD=8,∠ADC=90°,∴DC=AB=6,

AC==10,

要使△PCD是等腰三角形,分三種情況討論:

①當CP=CD時,AP=ACCP=106=4;

②當PD=PC時,∠PDC=∠PCD,∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°,∴∠PAD=∠PDA,∴PD=PA,∴PA=PC,∴AP=AC=5;

③當DP=DC時,如圖1,過點DDQACQ,則PQ=CQ,∵SADC=ADDC=ACDQ,∴DQ= =,∴CQ= =,∴PC=2CQ=,∴AP=ACPC=10=,

所以,若△PCD是等腰三角形時,AP=45;

2)如圖2,連接PF,DEPFDE的交點為O,連接OC,

∵四邊形ABCDPEFD是矩形,∴∠ADC=∠PDF=90°,

∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF,∴∠ADP=∠CDF,

BCD=90°,OE=OD,∴OC=ED,

在矩形PEFD中,PF=DE,∴OC=PF,

OP=OF=PF,∴OC=OP=OF,∴∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,

∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°,∴2OCP+2OCF=180°,∴∠PCF=90°,

∴∠PCD+∠FCD=90°,

RtADC中,∠PCD+∠PAD=90°,∴∠PAD=∠FCD,

∴△ADP∽△CDF,∴=,∵AP=,∴CF=

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A. 3.4cm B. 4.6cm C. 5.8cm D. 6.8cm

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