Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似即可證明．
（2）先利用△ABC∽△ACD，得AC²=AD•AB=48，再利用勾股定理求出CD，根據(jù)S_陰=S_半圓-S_△ABC即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB，∠B+∠BAC=90°，∠DCA+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴AC²=AD•AB=6×8=48，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{48-36}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CD=$\frac{1}{2}$×$8×2\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴S_陰=S_半圓-S_△ABC=8$π-8\sqrt{3}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考�？碱}型．