【題目】已知拋物線y=﹣x2+2kxk2+k+3(k為常數(shù))的頂點縱坐標為4.

(1)求k的值;

(2)設(shè)拋物線與直線y=﹣x﹣3)(m≠0)兩交點的橫坐標為x1,x2,nx1+x2﹣2,若A(1,a),Bb,)兩點在動點Mmn)所形成的曲線上,求直線AB的解析式;

(3)將(2)中的直線AB繞點(3,0)順時針旋轉(zhuǎn)45°,與拋物線x軸上方的部分相交于點C,請直接寫出點C的坐標.

【答案】(1)1;(2);(3)(2,3).

【解析】

(1)利用配方法即可解決問題;

(2)由題意,方程-x2+2x+3=-(x-3)的兩實數(shù)根分別為x1,x2,整理得,,推出x1+x2=+2,由n=x1+x2﹣2,推出n=+2-2=,即動點M(m,n)所形成的曲線為y=,由A(1,a),B(b,)兩點在該曲線上,推出A(1,1),B(2,),再利用待定系數(shù)法即可解決問題;

(3)由直線AB的解析式為y=﹣x+,A(1,1),推出點D(3,0)在直線AB上,取點E(2,3),則AE=AD=,ED=,推出AE2+AD2=ED2,推出∠EAD=90°,由AE=AD,推出∠ADE=45°,可得直線ED的解析式為y=﹣3x+9,構(gòu)建方程組即可求出點C坐標.

1)y=﹣x2+2kx﹣k2+k+3=﹣(x﹣k)2+k+3,

∵頂點縱坐標為4,

k+3=4,

k=1;

(2)k=1,

∴拋物線為y=﹣x2+2x+3,

由題意,方程-x2+2x+3=-(x-3)的兩實數(shù)根分別為x1,x2,

整理得,,

x1+x2=+2,

n=x1+x2﹣2,

n=+2-2=,

即動點M(m,n)所形成的曲線為y=

A(1,a),B(b,)兩點在該曲線上,

A(1,1),B(2,),

設(shè)直線AB解析式為y=k'x+b',把A(1,1),B(2,)代入得,,

解得,

∴直線AB的解析式為y=﹣x+

(3)如圖,

∵直線AB的解析式為y=﹣x+,A(1,1),

∴點D(3,0)在直線AB上,

取點E(2,3),則AE=AD=,ED=

AE2+AD2=ED2,

∴∠EAD=90°,

AE=AD,

∴∠ADE=45°,

∵設(shè)直線DE解析式為y=k″x+b″,把D(3,0),E(2,3)代入得,,

解得,

∴直線ED的解析式為y=﹣3x+9,

,解得,

∵D(3,0),

C(2,3).

練習冊系列答案
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(2)補全條形統(tǒng)計圖;

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(1)開始旋轉(zhuǎn)前,即在圖1中,連接NC

①求證:NC=NAM);

②若圖1NAM=4DN=2,請求出線段CD的長度.

(2)在圖2(點BOG上)中,請問DN、ANCD這三條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論,并說明理由.

3)試探究圖3AN、DN、AM、BM這四條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論,并說明理由.

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