【題目】定義:如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長,那么這個三角形叫“恰等三角形”,這條中線叫“恰等中線”.
(直角三角形中的“恰等中線”)
(1)如圖1,在△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=2,AM為△ABC的中線.求證:AM是“恰等中線”.
(等腰三角形中的“恰等中線”)
(2)已知,等腰△ABC是“恰等三角形”,AB=AC=20,求底邊BC的平方.
(一般三角形中的“恰等中線”)
(3)如圖2,若AM是△ABC的“恰等中線”,則BC2,AB2,AC2之間的數(shù)量關系為 .
【答案】(1)見詳解;(2)600或320;(3).
【解析】
(1)根據(jù)“恰等中線”的定義和勾股定理,判定即可;
(2)利用“恰等三角形”的定義,分類討論:①若腰上的中線為“恰等中線”,過B作腰AC邊上的高,利用勾股定理即可求出BC2;②若底的中線為“恰等中線”,利用勾股定理求BC2即可;
(3)過A作AD⊥BC,交BC于點D,再利用勾股定理列等式即可.
解:(1)∵BC=2,AM為△ABC的中線
∴CM=
在Rt△AMC中,
AM=,
∴AM=BC
∴AM是“恰等中線”.
(2)①若腰上的中線為“恰等中線”,假設BD是“恰等中線”,過B作BN⊥AC,如圖所示:
∵AB=AC=20,BD是AC的“恰等中線”
∴BD=AC=20,AD=DC=10
∴△ABD為等腰三角形,
∵BN⊥AC
∴AN=DN=
∴
NC=ND+DC=15
∴
②若底的中線為“恰等中線”,如下圖所示AD為“恰等中線”,設
∴AD=BC,且BD=CD=
∵AB=AC=20
∴AD⊥BC
在Rt△ABD中
解得:
綜上所述:或320.
(3)過點A作AD⊥BC交BC于D,
∵AM是△ABC的“恰等中線”
∴AM=BC,BM=CM=
在Rt△ABD,Rt△AMD和Rt△ACD中
,,
∴ ,
由①②變形得:
將③+④得:
=
=
將AM=BC,BM=CM=代入得:
∴
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,設 A 是由n×n 個有理數(shù)組成的n 行n 列的數(shù)表, 其中aij ( i,j =1,2,3,,n )表示位于第i 行第 j 列的數(shù),且aij 取值為 1 或-1.
a | a | a | |
a | a | a | |
a | a | a |
對于數(shù)表 A 給出如下定義:記 xi 為數(shù)表 A 的第i 行各數(shù)之積,y j 為數(shù)表 A 的第 j 列各數(shù)之積.令S = (x1+ x2++ x)+(y1+ y2+ y),將S 稱為數(shù)表 A 的“積和”.
(1)當n = 4 時,對如下數(shù)表 A,求該數(shù)表的“積和” S 的值;
1 | 1 | -1 | -1 |
1 | -1 | 1 | 1 |
1 | -1 | -1 | 1 |
-1 | -1 | 1 | 1 |
(2)是否存在一個 3×3 的數(shù)表 A,使得該數(shù)表的“積和” S =0 ?并說明理由;
(3)當n =10 時,直接寫出數(shù)表 A 的“積和” S 的所有可能的取值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中,點A、B、C在小正方形的頂點上.
(1)在圖中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的△AB′C′;
(2)求△ABC的面積為_______;
(3)在直線l上找一點P,使PB+PC的長最短,則這個最短長度為______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,M是AB上的動點不與A、B重合,過點M作交AC于點N,以MN為直徑作,并在內(nèi)作內(nèi)接矩形設.
的面積______,______;用含x的代數(shù)式表示
在動點M的運動過程中,設與四邊形MNCB重合部分的面積為試求y關于x的函數(shù)表達式,并求出x為何值時,y的值最大,最大值為多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方形網(wǎng)格中,△ABC為格點三角形(即三角形的頂點都在格點上).
(1)把△ABC沿BA方向平移后,點A移到點A1,在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉90°,在網(wǎng)格中畫出旋轉后的△A1B2C2;
(3)如果網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,求點B經(jīng)過(1)、(2)變換的路徑總長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三角板是我們學習數(shù)學的好幫手.將一對直角三角板如圖放置,點C在FD的延長線上,點B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,則CD的長度是_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,CD⊥AB于點D,點E在CD上,下列四個條件:①AD=ED;②∠A=∠BED;③∠C=∠B;④AC=EB,將其中兩個作為條件,不能判定△ADC≌△EDB的是
A.①②B.①④C.②③D.②④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明騎單車上學,當他騎了一段路時,想起要買某本書,于是又折回到剛經(jīng)過的某書店,買到書后繼續(xù)去學校.以下是他本次上學所用的時間與路程的關系示意圖.
根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:
(1)小明家到學校的路程是多少米?
(2)在整個上學的途中哪個時間段小明騎車速度最快,最快的速度是多少米/分?
(3)小明在書店停留了多少分鐘?
(4)本次上學途中,小明一共行駛了多少米?一共用了多少分鐘?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD是一個長方形,將AD沿某一直線AF(F為折痕與CD邊的交點)折疊,使點D落在BC邊上的某一點E處,請用沒有刻度的直尺與圓規(guī)找出點E與折痕AF,并在折痕AF上找一點P滿足BP+EP最。
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